Gebrochen rationale Funktion bilden?

Question

Hey,

Aufgabe: Bilde eine gebrochen rationale Funktion mit der Polstelle 3, die achsensymmetrisch zur y-achse ist und bilde eine gebrochen rationale Funktion mit der Polstelle 5, die punktsymmetrisch zum Ursprung ist.
Das mit den Polstellen verstehe ich, im Nenner jeweils z.B. x-3 und x-5, aber wie sieht es mit den Symmetrien aus?

Danke

Answer 1

Aloha :)

Wenn du eine Funktion $f(x)$ hast und addierst dazu die Funktion $f(-x)$, erhältst du eine achsensymmetrische Funktion. Eine Funktion mit der Polstelle $x=3$ wäre z.B.$$f(x)=\frac{1}{x-3}$$Du brauchst aber eine achsensymmetrische Funktion, also addieren wir $f(-x)$ dazu:$$g(x)=f(x)+f(-x)=\frac{1}{x-3}+\frac{1}{-x-3}=\frac{x+3-(x-3)}{(x-3)(x+3)}=\frac{6}{x^2-9}$$

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f₁(x) = 6/(x²-9)Zoom: x(-10…10) y(-10…10)

Wenn du von einer Funktion $f(x)$ die Funktion $f(-x)$ subtrahierst, erhältst du eine punktsymmetrische Funktion. Eine Funktion mit der Polstelle $x=5$ wäre z.B.$$f(x)=\frac{1}{x-5}$$Du brauchst eine punktsymmetrische Funktion, also subtrahieren wir $f(-x)$:$$g(x)=f(x)-f(-x)=\frac{1}{x-5}-\frac{1}{-x-5}=\frac{x+5+(x-5)}{(x-5)(x+5)}=\frac{2x}{x^2-25}$$

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f₁(x) = 2x/(x²-25)Zoom: x(-10…10) y(-10…10)

Comments

Vielen Dank!

Answer 2

Bilde eine gebrochen rationale Funktion mit der Polstelle 3, die achsensymmetrisch zur y-achse ist

Bedingt durch die Achsen oder Punktsymmetrie bekommst du immer auch eine Polstelle mit negativer x-Koordinate.

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f₁(x) = 1/((x-3)(x+3))

und bilde eine gebrochen rationale Funktion mit der Polstelle 5, die punktsymmetrisch zum Ursprung ist.

Eine Punktsymmetrische Funktion erhältst du wenn du eine Punktsymmetrische Funktion durch eine Achsensymmetrische Funktion teilst.

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f₁(x) = x/((x-5)(x+5))