Bestimmen Sie den Radius des Zylinders und die Höhe des Quaders, so dass bei einem gegebenen Volumen V=33000 …

Question

Text erkannt:

Der unten dargestellte Briefkasten besteht aus einem halben Zylinder sowie einem Quader. Der Radius des Zylinders ist \( \boldsymbol{r} \), seine Länge ist \( \mathbf{4} \boldsymbol{r} \) und die Höhe des Quaders ist \( \boldsymbol{h} \). Die Oberfläche besteht damit aus 5 Rechtecken, einem halben Zylindermantel und zwei Halbkreisen. Bestimmen Sie den Radius des Zylinders und die Höhe des Quaders, so dass bei einem gegebenen Volumen \( V=33000 \mathrm{~cm}^{3} \) des Briefkastens die Oberfläche minimal wird.

Könnte mir hier bitte jemand beim ansatz helfen?

Answer 1

Vergiss erst einmal das Minimalwerden der Oberfläche.

Vergiss, dass du V schon konkret kennst.

Wie lautet für diesen Körper die Volumenformel, und wie lautet die Oberflächenformel?

Comments

Die hatte ich so beschrieben:

A(r,h)=PI*r²+12*r*h+16*r²

V(r,h)=2*PI*r³+8*h*r²-33000

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A(r,h)=PI*r2+12*r*h+16*r2

Fast richtig. Die Grundfläche ist abertr nicht 16r², sondern 8r².

V(r,h)=2*PI*r3+8*h*r2-33000

Was sollen hier die 33000?

Es gilt V(r,h)=2*PI*r³+8*h*r²

Da du das Volumen kennst, wird daraus

33000=2*PI*r³+8*h*r².

Mache aus dieser Nebenbedingung durch Umstellen

h=...

und ersetze damit das in der (richtigen) Oberflächenformel vorkommende h.

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ja damit komme ich dann auf:

-2*PI*r²+8*r²+(49500/r)=0

Die Nullstellen dieses Polynoms entsprechen allerdings nicht dem Ergebnis und auch die der ersten ableitung nicht.