Wie könnte man sich das überlegen?

Question

Aufgabe:

Überlege allgemein anhand der Definition: Wenn \( a, b \in \mathbb{Z} \) und \( m \in \mathbb{N}_{\geq 2} \), so ist entweder \( [a]_{m} \cap[b]_{m}=\emptyset \) oder \( [a]_{m}=[b]_{m} . \)
Anleitung: Nimm an, \( [a]_{m} \cap[b]_{m} \neq \emptyset \), d.h., es gibt ein \( x \in[a]_{m} \cap[b]_{m} . \) Argumentiere, dass dann \( [a]_{m}=[b]_{m} . \)

Problem/Ansatz:

Wie könnte man sich das überlegen?

Comments

Was bedeutet [a]_m?

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Restklasse a modulo m

Answer 1

Sei \(x\in [a]_m \cap [b]_m\) Dann gibt es \(r,s\in \mathbb{Z}\)

mit \(x-a=mr\) und \(x-b=ms\),

also \(b-a=(x-a)-(x-b)=m(r-s)\),

d.h. \(b\sim_m a\) und damit \([a]_m=[b]_m\).

Comments

Durch diese Rechnung hat man also gezeigt, dass ein x existiert welches in [a]m und [b]m drinnen ist, hab ich das richtig verstanden?

Was genau bedeutet " \(b\sim_m a\)"?

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Nein. Damit hat man gezeigt, dass, wenn ein x im Durchsxchnitt liegt,

die beiden Äquivalenzklassen gleich sind. Wie bezeichnet ihr denn

die Äquivalenzrelation, über die wir hier sprechen? Welches

Symbol verwendet ihr?

Benutzt ihr das Kongruenzzeichen "\(\equiv\)" ?

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genau wir benutzen das kongruenzzeichen, danke