Wie könnte man sich das überlegen?

Question

Aufgabe:

Überlege allgemein anhand der Definition: Wenn $a, b \in \mathbb{Z}$ und $m \in \mathbb{N}_{\geq 2}$, so ist entweder $[a]_{m} \cap[b]_{m}=\emptyset$ oder $[a]_{m}=[b]_{m} .$
Anleitung: Nimm an, $[a]_{m} \cap[b]_{m} \neq \emptyset$, d.h., es gibt ein $x \in[a]_{m} \cap[b]_{m} .$ Argumentiere, dass dann $[a]_{m}=[b]_{m} .$

Problem/Ansatz:

Wie könnte man sich das überlegen?

Comments

Was bedeutet [a]_m?

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Restklasse a modulo m

Answer 1

Sei $x\in [a]_m \cap [b]_m$ Dann gibt es $r,s\in \mathbb{Z}$

mit $x-a=mr$ und $x-b=ms$,

also $b-a=(x-a)-(x-b)=m(r-s)$,

d.h. $b\sim_m a$ und damit $[a]_m=[b]_m$.

Comments

Durch diese Rechnung hat man also gezeigt, dass ein x existiert welches in [a]m und [b]m drinnen ist, hab ich das richtig verstanden?

Was genau bedeutet " $b\sim_m a$"?

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Nein. Damit hat man gezeigt, dass, wenn ein x im Durchsxchnitt liegt,

die beiden Äquivalenzklassen gleich sind. Wie bezeichnet ihr denn

die Äquivalenzrelation, über die wir hier sprechen? Welches

Symbol verwendet ihr?

Benutzt ihr das Kongruenzzeichen "$\equiv$" ?

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genau wir benutzen das kongruenzzeichen, danke