Parallele Ebenen/ Spiegelebene

Question

Aufgabe:

Die Ebene E enthält die Punkte $\mathrm{A}(5|11| 5), \mathrm{B}(11|1| 8)$ und $\mathrm{C}(11|5| 6)$. Die Ebene $\mathrm{F}$ besitzt die Koordinatengleichung $\mathrm{F}: 2 \mathrm{x}+3 \mathrm{y}+6 \mathrm{z}=24$.

a) Ermitteln Sie eine Parametergleichung der Ebene E.
b) Zeigen Sie, dass die Ebenen E und F parallel sind. Bestimmen Sie außerdem ihren Abstand.
c) Die Ebene E wird an der Ebene F gespiegelt. Ermitteln Sie eine Gleichung der Spiegelebene $\mathrm{E}^{\prime}$.

Problem/Ansatz:

Hallo Freunde,
Ich brauche bitte bei folgender Aufgabe Hilfe. a und b habe ich schon gemacht, aber bei c komme ich leider nicht weiter. Habt ihr eine Idee?

Answer 1

c)
A' = [5, 11, 5] + r·[2, 3, 6] = [2·r + 5, 3·r + 11, 6·r + 5]

A' in F einsetzen
2·(2·r + 5) + 3·(3·r + 11) + 6·(6·r + 5) = 24 → r = -1

A' = [5, 11, 5] - 2·[2, 3, 6] = [1, 5, -7]

E': X = [1, 5, -7] + r·[6, -10, 3] + s·[6, -6, 1]

Comments

Vielen Dank! Ich habe in Zwischenzeit auch den Spiegelpunkt berechnet, bin aber auf ein ganz anderes Ergebnis gekommen. Ich habe eine Formel aus dem Buch angewandt: OA+2×AB

Mein Ergebnis: A'(17|-9|11)

Woran liegt das?

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A' = OA+2×AB
Woran liegt das?

Wahrscheinlich am 'Deinem' Spiegelpunkt 'B'! was hast Du für B eingesetzt?

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Das soll der Vektor AB sein also habe ich Punkt B - Punkt A gerechnet und bin so auf Vektor AB gekommen.

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Wenn $E$ an $F$ zu $E'$ gespiegelt wird, und beide Ebenen parallel liegen, so liegt auch $E'$ parallel zu $F$ und hat somit auch den identischen Normalenvektor.

D.h. man muss bei der Ebenengleichung von $F$$$F:\quad 2x+3y+6z = 24$$nur die '$24$' neu berechnen. Kennt man einen Punkt aus $E$ - z.B. den Punkt $A(5|\,11|\,5))$, dann muss man nur $A$ in die Gleichung von $F$ einsetzen ...$$F(A) = 2\cdot 5 + 3\cdot 11+6\cdot 5 = 73$$... und diese $73$ an der $24$ 'spiegeln':$$2 \cdot 24 - 73 = -25$$Die Gleichung für $E'$ ist also$$E': \quad 2x+3y+6z = -25$$

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Mein Ergebnis: A'(17|-9|11)

Dann hast du A an B gespiegelt.

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A und B liegen Gleichweit von der Ebene F entfernt und eine Gerade durch die Punkte kann die Ebene F NIE schneiden. Du musst schon statt AB den Normalenvektor der Ebene F nehmen.

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Das soll der Vektor AB sein also habe ich Punkt B - Punkt A gerechnet und bin so auf Vektor AB gekommen.

Ok - Du hast den Punkt $A$ an $B$ gespiegelt. Wenn das das $B$ aus der Aufgabe ist, so ist das falsch. $B$ liegt doch gar nicht in $F$!

Es soll doch an $F$ gespiegelt werden!

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Ahhh okay. Jetzt versteh ich es. Also muss ich es so rechnen, wie Der_Mathecoach oben

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Es gibt viele Möglichkeiten das zu rechnen. Mein weg ist einer davon. Fast noch etwas einfacher wäre es die Koordinatenform der Ebene E und E' aufzustellen.

Aber ich will dich auch nicht verwirren.

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Also muss ich es so rechnen, wie Der_Mathecoach oben

.. oder so, wie ich es Dir gezeigt habe. Das wäre kürzer ;-)

ich habe Dir die Szene in Geoknecht3D gegossen:

(klick auf das Bild!)

$E$ ist die obere grüne Ebene mit den Punkten A, B und C. $F$ ist lila und $E'$ ist hellgrün.

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Ok, danke. Das einzige was ich jetzt nicht verstehe, ist wie du in der vorletzten Zeile bei deiner Rechnung auf -2 gekommen bist, wenn r=-1 ist?

Oder ist es nur ein Tippfehler? ;)

Ich meine die Rechnung von Der_Mathecoach

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Wenn du r = -1 nimmst dann kommst du genau zum Punkt an dem Du spiegeln willst. Du musst also immer 2r wenn du Spiegeln möchtest.

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Danke für den Hinweis!! :)