Berechne das Volumen des entstehenden Rotationskörpers f(x)=1/(x-1)hoch 1

Question

Aufgabe:

Die Fläche zwischen dem Graphen von f und der x-Achse über a=2 und b=5 rotiert um die x-Achse. Berechne das Volumen des Rotationskörpers.

f(x)=1/(x-1)² 

Problem/Ansatz:

Ich hatte es umgeschrieben in f(x)=(x-1)^-2

jetzt würde ich es in die Formel für das Rotationsvolumen einsetzen, aber wenn ich das mache kommt bei mir ein falsches Ergebnis raus, kann mir jemand bei dem Rechenweg helfen?

Answer 1

Aloha :)

$$V=\pi\int\limits_2^5f^2(x)\,dx=\pi\int\limits_2^5\frac{1}{(x-1)^4}\,dx=\pi\int\limits_2^5(x-1)^{-4}\,dx=\pi\left[\frac{(x-1)^{-3}}{(-3)}\right]_2^5$$$$\phantom{V}=\pi\left[\frac{-1}{3(x-1)^3}\right]_2^5=\pi\left(-\frac{1}{3\cdot4^3}+\frac{1}{3\cdot1^3}\right)=\pi\,\frac{4^3-1}{3\cdot4^3}=\frac{63}{192}\,\pi=\frac{21}{64}\,\pi$$

Answer 2

Hallo,

\(F(x)=-\frac{1}{3(x-1)^3}\) ist die Stammfunktion von \((f(x))^2\)

\(F(5)=-\frac{1}{192}\qquad F(2)=-\frac{1}{3}\\ -\frac{1}{192}+\frac{1}{3}=\frac{21}{64}\\ \frac{21}{64}\cdot \pi=1,031\)

Gruß, Silvia