Abbildungsmatrix bestimmen und berechnen

Question

Aufgabe:

(a) Es sei f : ℝ³ → ℝ³ linear mit f(e₁)= -e₂, f(e₂)= 2e₁ + e₃, f(e₃)= (0,0,0)^T. Dabei sei S=(e₁,e₂,e₃) die Standardbasis des ℝ³.

Berechnen Sie f((x,y,z)^T) für (x,y,z)^T = (-3,-1,2)^T sowie ker(f) und im(f) und verifizieren Sie die Dimensionsformel für f.

(b) Bestimmen Sie die Abbildungsmatrix A:= M^S_S(f) von f und berechnen Sie mit ihr zur Kontrolle f((-3,-1,2)^T).

Problem/Ansatz:

Zu (a) weiß ich, dass f((1,0,0)^T )=(0,-1,0)^T , f((0,1,0)^T )=(2,0,1)^T und f((0,0,1)^T )=(0,0,0)^T sein soll. Jedoch weiß ich jetzt nicht weiter, da ich ja keine lineare Abbildung gegeben habe. Sonst könnte ich die x,y,z Werte einfach einsetzen. Ich würde jetzt die gegebenen Vektoren (0,-1,0)^T, (2,0,1)^T, (0,0,0)^T als Matrix schreiben und mit dem Vektor (-3,-1,2)^T multiplizieren. Dann kommt aber ein Vektor raus, womit ich ja keinen Kern und kein Bild bestimmen kann. Daher muss mein Ansatz ja falsch sein. Wie man das Bild und den Kern bestimme und die Dimensionsformel verifiziere, kann ich, sobald ich die Matrix gegeben habe.

Zu (b): Hab ich die Aufgabe dann nicht eigentlich schon bei (a) gelöst?

Mir fehlt, um die Aufgabe zu lösen, eine lineare Abbildung. Für Tipps und Hinweise, wie ich die Aufgabe lösen kann, würde ich mich sehr freuen.

Answer 1

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

Wenn dir die lineare Abbildung fehlt, bau sie dir doch. Wir kennen 3 Funktionswerte. Daher wissen wir, wie eine Abbildungsmatrix \(A\) auf 3 Vektoren wirkt:$$A\cdot\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\-1\\0\end{pmatrix}\quad;\quad A\cdot\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\0\\1\end{pmatrix}\quad;\quad A\cdot\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}$$Diese 3 Gleichungen können wir zu einer Matrix-Gleichung zusammenfassen:$$A\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\0 & 1 & 0\\0 & 0 & 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 & 2 & 0\\-1 & 0 & 0\\0 & 1 & 0\end{pmatrix}\quad\implies\quad A=\begin{pmatrix}0 & 2 & 0\\-1 & 0 & 0\\0 & 1 & 0\end{pmatrix}$$Weil rechts neben der Abbildungsmatrix die Einheitsmatrix steht, erhalten wir direkt die Abbildungsmatrix \(A\), die übrigens in Teil (b) gesucht ist.

Damit ist nun der gesuchte Funktionswert:$$f(-3;-1;2)=A\begin{pmatrix}-3\\-1\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2\\3\\-1\end{pmatrix}$$

Da die Abbildungsmatrix \(A\) zwei linear unabhängige Spaltenvektoren enthält, haben wir bereits eine Basis des Bildes:$$\operatorname{Bild}(f)=\left(\begin{pmatrix}0\\-1\\0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}2\\0\\1\end{pmatrix}\right)$$

Der Kern ist die Lösung des Gleichungssystems$$\begin{array}{rrr|r|l}x & y & z & = &\text{Aktion}\\\hline0 & 2 & 0 & 0 &-2\cdot\text{Zeile 3}\\-1 & 0 & 0 & 0 & \cdot(-1)\\0 & 1 & 0 & 0\\\hline 0 & 0 & 0 & 0 &\checkmark\\1 & 0 & 0 & 0 &\Rightarrow x=0\\0 & 1 & 0 & 0 &\Rightarrow y=0\end{array}$$Die Lösungen sind also:$$\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\z\end{pmatrix}=z\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}$$Damit haben wir eine Basis des Kerns:$$\operatorname{Kern}(f)=\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}$$

Die Dimensionsformel stimmt auch, denn \(2+1=3\quad\checkmark\)

Comments

Danke für deine Antwort, die hat mir sehr geholfen.

Sieht die lineare Abbildung dann so aus: f(\( \begin{pmatrix} x₁\\ x₂\\ x₃\end{pmatrix} \) ) = \( \begin{pmatrix} 2x₂ \\ -x₁\\ x₂ \end{pmatrix} \) ? Bisher kannte ich nämlich nur Aufgaben, wo das so gegeben war.

Und kann man die Aufgabe auch noch so lösen, dass man in der (a) nicht die (b) löst? Das ist eine Aufgabe aus einer Altklausur und für (a) gibt es 7 Punkte und für (b) 4 Punkte. Da finde ich es schon komisch, dass man alles im ersten Teil eigentlich herausfindet. Deshalb frag ich mich halt, ob es auch einen anderen Weg gibt?

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Da die Abbildung ja linear ist, gilt:

$$f(-3;-1;2)=f(-3;0;0)+f(0;-1;0)+f(0;0;2)$$$$\phantom{f(-3;-1;2)}=-3\cdot f(1;0;0)-f(0;1;0)+2\cdot f(0;0;1)$$$$\phantom{f(-3;-1;2)}=-3\cdot\begin{pmatrix}0\\-1\\0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}2\\0\\1\end{pmatrix}+2\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2\\3\\-1\end{pmatrix}$$

Da du weißt, wie die Basisvektoren abgebildet werden, weißt du auch, wie jeder beliebige Vektor abebildet wird:$$\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}=a\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}+b\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}+c\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\mapsto a\begin{pmatrix}0\\-1\\0\end{pmatrix}+b\begin{pmatrix}2\\0\\1\end{pmatrix}+c\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2b\\-a\\b\end{pmatrix}$$Daraus kannst du die Basisvektoren aller Bilder ablesen, denn:$$\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}\mapsto\begin{pmatrix}2b\\-a\\b\end{pmatrix}=a\begin{pmatrix}0\\-1\\0\end{pmatrix}+b\begin{pmatrix}2\\0\\1\end{pmatrix}$$Die beiden Basisvektoren des Bildes kannst du nun ablesen.

Damit ist auch der Kern klar. Damit das Bild der Nullvektor ist, muss \(a=0\) und \(b=0\) gelten. Der Parameter \(c\) kommt im Bild gar nicht vor und kann daher beliebig gewählt werden. Eine Basis des Kerns ist also \((0;0;1)^T\).

Answer 2

Ich würde jetzt die gegebenen Vektoren (0,-1,0)T, (2,0,1)T, (0,0,0)T als Matrix schreiben und mit dem Vektor (-3,-1,2)T multiplizieren.

Genau damit hast du f(-3,-1,2)T) bestimmt.

Wenn du die Matrix mit (x,y,z)^T multiplizierst hast du die

Abbildungsvorschrift für f.