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Aufgabe:

Wo ist die Funktion f(x)= Ιx-1Ι - 1/cos(x) definiert?

Wo ist f differenzierbar?

Was genau heißt denn stetig und differenzierbar?

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Du beschäftigst dich mit der Funktion f mit

f ( x ) = I x - 1 I - 1/cos(x)

Stetigkeit bedeutet anschaulich, dass der Funktionsgraph in einer Linie durgezeichnet werden kann.

Genauer ist es so definiert: An jeder Stelle x0 existiert der links- und rechtsseitige Grenzwert der Funktionswerte von f für x gegen x0 und beide stimmen mit f(x0) überein.

Keine Sorge: Die meisten Funktionen sind stetig und auch Summen und Produkte stetiger Funktionen sind wieder stetig.

Die Funktion f ist dort nicht stetig, wo cos Nullstellen hat, also für Pi, 3*Pi, 5*Pi usw.

Differnzierbarkeit ist deutlich schwieriger so knapp zu erklären. Anschaulich: Die Funktion hat keine Sprügen oder Knicke.

Soviel ist nicht zu viel verraten: f ist an den oben genannten Stellen auch nicht differenzierbar.

Außerdem ist dort nicht differenzierbar, wo die Werte von x-1 das Vorzeichen wechseln, denn dort stimmen der links- und rechtsseitige Grenzwert der (Sekante-)Steigungen nicht überein.

Wenn du magst, überleg doch mal, wo x-1 das Vorzeichen wechselt und wie die Steigung allein der Funktion x-1 links und rechts davon aussieht.

Bräsig

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Die Funktion f ist dort nicht stetig, wo cos Nullstellen hat, also für Pi, 3*Pi, 5*Pi usw.


Falsch! Du hast die Nullstellen von sin(x) aufgezählt! Die Nullstellen von cos(x) sind

(1/2*pi) + k*pi (für k Element der ganzen Zahlen)

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