Beträge und Ungleichung. Wie löse ich die Ungleichung ΙxΙ - Ιx-1Ι + ΙyΙ > 3?

Question

Die Frage lautet:

In welchen Bereichen der x,y Ebene liegen diejenigen Punkte, für welche die Ungleichung

ΙxΙ - Ιx-1Ι + ΙyΙ > 3erfüllt ist. Mit Skizze

Wir haben nur besprochen dass der Betrag aus einer negativen Zahl eine positive macht aber wie wir solche Gleichungen graphisch oder rechnerisch lösen nicht.

Bitte um Hilfe

Comments

So scheint das rauskommen zu müssen. Vgl. https://www.wolframalpha.com/input/?i=%7Cx%7C+-+%7Cx-1%7C+%2B+%7Cy%7C%3E+3

Answer 1

Fall 1: x≥0. Dann ist |x| = x und die Ungleichung lässt sich vereinfachen zu

x - Ιx-1Ι + ΙyΙ > 3

Fall 1.1: x≥0 und y ≥ 0. Dann ist |x| = x und |y|=y und die Ungleichung lässt sich vereinfachen zu

x - Ιx-1Ι + y > 3

Fall 1.1.1: x≥0 und y ≥ 0 und x-1≥0. Dann ist |x| = x und |y|=y und  |x-1| = x-1 und die Ungleichung lässt sich vereinfachen zu

x - (x-1) + y > 3 Löse diese Ungleichung

Fall 1.1.2: x≥0 und y ≥ 0 und x-1<0. Dann ist |x| = x und |y|=y und  x-1 = -(x-1) und die Ungleichung lässt sich vereinfachen zu

x - (-(x-1)) + y > 3 Löse diese Ungleichung

Fall 1.2: x≥0 und y < 0. Dann ist |x| = x und |y|=-y und die Ungleichung lässt sich vereinfachen zu

x - Ιx-1Ι + (-y) > 3

Fall 1.2.1: x≥0 und y < 0 und x-1≥0. Dann ist |x| = x und |y|=-y und  |x-1| = x-1 und die Ungleichung lässt sich vereinfachen zu

x - (x-1) + (-y) > 3 Löse diese Ungleichung

Fall 1.2.2: x≥0 und y < 0 und x-1<0. Dann ist |x| = x und |y|=-y und  x-1 = -(x-1) und die Ungleichung lässt sich vereinfachen zu

x - (-(x-1)) + (-y) > 3 Löse diese Ungleichung

Fall 2: x<0 Dann ist |x| = -x und die Ungleichung lässt sich vereinfachen zu

-x - Ιx-1Ι + ΙyΙ > 3

Fall 2.1: x<0 und y ≥ 0. Dann ist |x| = -x und |y|=y und die Ungleichung lässt sich vereinfachen zu

-x - Ιx-1Ι + y > 3

Fall 2.1.1: x<0 und y ≥ 0 und x-1≥0. Das kann nicht sein.

Fall 2.1.2: x<0 und y ≥ 0 und x-1<0. Dann ist |x| =-x und |y|=y und  x-1 = -(x-1) und die Ungleichung lässt sich vereinfachen zu

-x - (-(x-1)) + y > 3 Löse diese Ungleichung

Fall 2.2: x<0 und y < 0. Dann ist |x| = -x und |y|=-y und die Ungleichung lässt sich vereinfachen zu

-x - Ιx-1Ι + (-y) > 3

Fall 2.2.1: x<0 und y < 0 und x-1≥0. Dass kann nicht sein.

Fall 2.2.2: x<0 und y < 0 und x-1<0. Dann ist |x| = -x und |y|=-y und  x-1 = -(x-1) und die Ungleichung lässt sich vereinfachen zu

-x - (-(x-1)) + (-y) > 3 Löse diese Ungleichung

Prinzipiell musst du also 6 Ungleichungen lösen (eigentlich 8, aber zwei wurden wegen widersprüchlicher Annahmen eliminiert). Indem du zuerst umformst lassen sich vielleicht Symmetrieeigenschaften ausnutzen und so die Anzahl der Fälle weiter reduzieren, z.B.  ΙxΙ - Ιx-1Ι + ΙyΙ > 3 ⇔ ΙxΙ - Ιx-1Ι -3 > -ΙyΙ

Answer 2

ΙxΙ - Ιx-1Ι + ΙyΙ > 3

<=> |y| > 3 + |x-1| - |x|

Wenn man die Beträge bei x auflöst, erhält man:

   |y|  >      (   2           für  x > 1

                 (  4 -  2x   für  0 ≤ x ≤ 1

                 (  4           für  x < 0

Die gesuchten Punkte liegen also oberhalb des oberen oder unterhalb des unteren Graphen