Hallo,
Dachte zuerst ich müsste es mit Taylorentwicklung machen, ,,,
Im Prinzip schon. Aber einzeln, denn $$\frac{\cos(x)}{1-x} = \cos(x) \cdot \frac1{1-x}$$und weiter gilt natürlich$$\cos(x)= \sum\limits_{k=0}^{\infty} (-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!} = \frac{1}{0!} - \frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!} - \dots \\ \frac{1}{1-x} = \sum\limits_{k=0}^{\infty}x^k = 1 + x+ x^2+x^3+x^4+\dots$$Und mit Hilfe der Reihenmultiplikation kann man diese Reihen nun multiplizieren. Am anschaulichsten vielleicht, wenn man sich das an Hand folgender Tabelle klar macht$$\begin{array}{c|} & 1& 0& -\frac{1}{2!}& 0& \frac{1}{4!}& 0& -\frac{1}{6!} \\\hline 1 & 1& 0& {\color{red}-\frac{1}{2!}}& {\color{blue}0}& {\color{green}\frac{1}{4!}}& 0& -\frac{1}{6!}\\ 1& 1& {\color{red}0}& {\color{blue}-\frac{1}{2!}}& {\color{green}0}& \frac{1}{4!}& 0& -\frac{1}{6!}\\ 1&{\color{red}1}& {\color{blue}0}& {\color{green}-\frac{1}{2!}}& 0& \frac{1}{4!}& 0& -\frac{1}{6!}\\ 1& {\color{blue}1}& {\color{green}0}& -\frac{1}{2!}& 0& \frac{1}{4!}& 0& -\frac{1}{6!}\\ 1& {\color{green}1}& 0& -\frac{1}{2!}& 0& \frac{1}{4!}& 0& -\frac{1}{6!}\end{array}$$In der ersten Zeile sind die Koeffizienten der Cosinus-Reihe. In der ersten Spalte stehen die Koeffizienten der Taylor-Reihe von \(1/(1-x)\). Nun muss man jedes Element der einen mit jedem Element der anderen multiplizieren. Da links in der Spalte nur 1'en stehen vervielfacht sich ja nur die erste Zeile.$$\implies \frac{\cos(x)}{1-x} = 1 + 1\cdot x + \left({\color{red}1-\frac1{2^!}}\right)x^2 + \left({\color{blue}1-\frac1{2^!}}\right)x^3 + \left({\color{green}1-\frac1{2^!}+\frac1{4!}}\right)x^4 + \dots$$Und dann addiert man die Ergebnisse diagonal. Und zwar so, dass man immer Resultate mit gleichem Exponnten von \(x\) zusammen fasst. Das habe ich farblich markiert. So kommst Du auf die Reihe, die oben in der Frage angegeben ist.
Zur Illustration in Desmos bis \(x^4\):
Der rote Graph zeigt die Funktion \(\cos(x)/(1-x)\) im Intervall \((-1\dots1)\). Der blaue ist die Näherung.
Gruß Werner
