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Aufgabe:

Zeigen Sie mit Hilfe der Definition der Konvergenz, dass die Folge
(an)n∈ℕ , an = \( \frac{2}{n^2} \)


konvergiert.


Problem/Ansatz:

Habe in einem anderen Beitrag gesehen, dass der da einfach nur den limes eingesetzt hat, ist das richtig?

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Beste Antwort

Aloha :)

Wir vermuten, dass die Folge \(a_n\coloneqq\frac{2}{n^2}\) gegen den Grenzwert \(a=0\) konvergiert.

Um das mit der Definition zu beweisen, wählen wir ein \(\varepsilon>0\) beliebig, aber fest, und müssen nun zeigen, dass für fast alle \(n\in\mathbb N\) gilt:$$\left|a_n-a\right|<\varepsilon$$"Für fast alle \(n\)" bedeutet, dass die Behauptung für alle \(n\) gilt, die größer oder gleich einem \(n_0\in\mathbb N\) sind. Diese Grenze \(n_0\) darf von \(\varepsilon\) abhängen.

Schauen wir mal, ob wir ein solches \(n_0\) finden können:$$\left|a_n-a\right|=\left|\frac{2}{n^2}-0\right|=\frac{2}{n^2}\stackrel!<\varepsilon\quad\leadsto\quad\frac{n^2}{2}>\frac1\varepsilon\stackrel{n>0}{\Longleftrightarrow} n>\sqrt{\frac2\varepsilon}\quad\leadsto\quad n_0\coloneqq\left\lceil\sqrt{\frac2\varepsilon}\right\rceil$$

Da wir \(\varepsilon>0\) beliebig gewählt haben, können wir für alle \(\varepsilon>0\) ein \(n_0=\left\lceil\sqrt{\frac2\varepsilon}\right\rceil\) angeben, sodass \(|a_n-0|<\varepsilon\) für alle \(n\ge n_0\) gilt.

Die Folge konvergiert daher gegen \(a=0\).

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Nach der Kehrwertbildung muss es\(~~\dfrac{n^2}2>\dfrac1\varepsilon~~\)heißen.

Danke dir, du hast natürlich völlig Recht... Ich habe es korrigert.

Boah danke für diese Antwort :)

Macht es am Ende dann noch Sinn ein Epsilon zu wählen, dann den n0 zu bestimmen ein n > n0 zu wählen, dass meine Mitschüler erkennen wie das funktioniert wenn ich es vortragen muss? :)

Die Folge \((a_n)\) konvergiert gegen den Grenzwert \(a\), wenn für alle \(\varepsilon>0\) und fast alle \(n\in\mathbb N_0\) gilt:$$|a_n-a|<\varepsilon\quad;\quad n\ge n_0(\varepsilon)$$

Du musst also für jedes \(\varepsilon\) ein \(n_0\) angegben können, ab dem diese Ungleichung gültig ist.

Daher haben wir oben ein \(\varepsilon>0\) beliebig gewählt und für dieses beliebige \(\varepsilon\) ein passendes \(n_0\) bestimmt. Dann können wir nämlich für alle \(\varepsilon\) ein passendes \(n_0\) angeben.

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Hallo

Nein einfach den GW  g zu bestimmen ist hier nicht gefragt, du muss zu jedem ε ein N angeben so dass |an-g|<ε für alle n>N

(Dazu musst du für dich natürlich erstmal den lim bestimmen)

Gruß lul

Avatar von 106 k 🚀

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