Funktion mithilfe Taylorpolynom entwickeln

Question

Aufgabe: Gegeben ist die Funktion $$ f(x)=2*\frac{ln(x)}{\sqrt{x}} $$ Approximieren Sie die Funktion f(x) um die Stelle x₀=1 durch ein Taylorpolynom 2.Grades.

Ansatz: Ich habe bereits die erste sowie zweite Ableitung aufgestellt.
1.Ableitung $$ f(x)=-\frac{ln(x)-2}{x^{\frac{3}{2}}} $$
2.Ableitung $$f(x)=-\frac{3*ln(x)-8}{2x^{\frac{5}{2}}} $$

Als nächstes Rechne ich für x₀=1 die y-Werte aus.

f(1)=0; f(1)=2; f`(1)=-4

Problem/Frage: Ist richtig, dass ich nur bis zur zweiten Ableitung ableiten muss, da ein Taylorpolynom 2.Grades aufgestellt werden soll?

Leider sehe ich keine Regelmäßigkeit und weiß nicht wie ich die Ergebnisse in ein Taylorpolynom überführen kann.

Answer 1

Das ist soweit alles richtig.

Siehe https://www.geogebra.org/m/pew8jukk

Alles zusammengesetzt T_a,n

\(T_{x_0,n}=\sum_{k=0}^{n}\frac{1}{k!} \; f^{k}(x_0) \left(x - x_0 \right)^{k}\)

Du benötigst noch die Binome kx = 1/k! (x-1)^k

Answer 2

Aloha :)

Das Taylor-Polynoms 2-ter Ordnung einer Funktion \(f(x)\) um den Entwicklungspunkt \(x_0=1\) lautet allgemein:$$f(x)=f(x_0)+f'(x_0)\cdot(x-x_0)+\frac12\,f''(x_0)\cdot(x-x_0)^2$$

Wir benötigen also zum Funktionswert noch die ersten beiden Ableitungen bei \(x_0=1\):

$$f(x)=\frac{2\ln(x)}{x^{1/2}}\quad\implies\quad f(1)=0$$$$f'(x)=\frac{2-\ln(x)}{x^{3/2}}\quad\implies\quad f'(1)=2$$$$f''(x)=\frac{3\ln(x)-8}{2x^{5/2}}\quad\implies\quad f''(1)=-4$$

Bei \(f''(x)\) habe ich ein anderes Vorzeichen rausbekommen. Bitte bei dir nochmal prüfen.

Wir setzen alles in die Taylor-Formel von oben ein:$$f(x)\approx0+2\cdot(x-1)+\frac12\cdot(-4)\cdot(x-1)^2=2x-2-2(x^2-2x+1)$$$$f(x)\approx-4+6x-2x^2$$