Determinante ausrechnen und welches d der Matrix singulär ist

Question

Aufgabe: Berechnen Sie unter Angabe des Rechenwegs det (C)= $\begin{pmatrix} 2 & 3 & 1 & 4 \\ 6 & 9 & d & 12 \\ 0 & 4 & 2 & 0 \\ 8 & d & 4 & 0 \end{pmatrix}$ und geben Sie an, für welches d die Matrix C singulär ist.

Problem/Ansatz: Kann mir jemand helfen und schritt für schritt den Lösungsweg zeigen für die Aufgabe, habe große Schwierigkeiten bei Determinanten. Kann es bei meiner Mathe Dozentin nicht nachvollziehen :(

Answer 1

$det( \begin{pmatrix} 2 & 3 & 1 & 4 \\ 6 & 9 & d & 12 \\ 0 & 4 & 2 & 0 \\ 8 & d & 4 & 0 \end{pmatrix} )$

Entwickeln nach der 3. Zeile

$=0 \cdot \dots -4 \cdot det( \begin{pmatrix} 2 & 1 & 4 \\ 6 & d & 12 \\ 8 & 4 & 0 \end{pmatrix} )+ 2 \cdot det( \begin{pmatrix} 2 & 3 & 4 \\ 6 & 9 & 12 \\ d& 4 & 0 \end{pmatrix} ) -0 \cdot \dots$

Die 3er-Determinaten z.B. mit der Regel von Sarrus ausrechnen gibt

$= -4 \cdot ( -32d +96 )+ 2 \cdot 0 = 128d -384$

Also det=0 für d=3.