Beweise, dass das n-te Dreieck n^2 kleine Dreiecke enthält.

Question

Eine Folge besteht aus gleichseitigen Dreiecken, die wieder zu einem gleichseitigen Dreieck gelegt werden, wie oben. Jedes dieser kleinen gleichseitigen Dreiecke hat die Seitenlänge 1cm. Die Figur oben ist die 4 Figur der Folge. Die erste Figur besteht aus einem Dreieck. Immer so dass die n-te Figur dieser Folge n cm als Länge der Grundseite hat.

Bestimme eine Formel für die Anzahl der Dreiecke in der n-ten Figur

Ich habe n² heraus ? Stimmt das ?

Zweitens beweise diese Formel ? Wie kann man eigentlich Formeln algemein beweisen?

Answer 1

Hallo Mathe Ass,

  die Formel Anzahl der Dreiecke = n^2 dürfte stimmen.

  Wie könnte ein Beweis aussehen ?

  g = Länge der Grunlinie des Dreiecks
  h = Höhe des Dreickecks

  F = ( g * h ) / 2
  verdoppele ich nun die Länge der Grundlinie, verdoppelt sich
auch die Höhe. Siehe dein Bild.

  F ( n=2 ) = ( g * 2 ) * ( h * 2 ) / 2 = 4 * ( g * h ) / 2
  F ( n=3 ) = ( g * 3 ) * ( h * 3 ) / 2 = 9 * ( g * h ) / 2 
  allgemein

  F ( n ) = ( g * n ) * ( h * n ) / 2 = n^2  * ( g * h ) / 2 

  Das dürfte genügen.

  mfg Georg
 

Comments

Man könnte es auch per vollständiger Induktion beweisen.