Aufgabe: Querschnitt eines Entwässerungskanal ist ein Rechteck mit aufgesetztem Halbkreis. Gegeben ist der Umfang U=11,6m. Wie sind die Breite B und Höhe H des Rechtecks zu wählen, damit die gesamte Querschnittsfläche maximal wird?
Ansatz: (Stimmt dies soweit?)
Ich habe folgende Funktionen aufgestellt:
$$A_{Gesamtfläche}={\pi}*(\frac{B}{2})+H*B $$
Für den Umfang des Gesamtkörpers erhält man:
$$U_{Gesamt}={\pi}*(\frac{B}{2})+2*B+H$$
Nun die Formel für den Umfang nach H umstellen erhält man:
$$ H=5,8-\frac{\pi*B}{8}-\frac{B}{2} $$
Dies nun für H in die Flächenfunktion einsetzen:
$$ A_{Gesamtfläche}={\pi}*(\frac{B}{2})+B*(5,8-\frac{\pi*B}{8}-\frac{B}{2}) $$
$$ A_{Gesamtfläche}=-B^2+11,6*B $$
Nun Ableiten und =0 setzen um die Extremstelle zu erhalten und anschließend mit der 2.Ableitung prüfen ob es ein Maximum oder Minimum ist:
$$A_{1,Gesamtfläche}=-2*B+11,6$$
$$B=\sqrt{5,8}=2,408m $$ Negativer Wert kann vernachlässigt werden.
2. Ableitung: $$ A_{2,Gesamtfläche}=-2<0 $$ also Maximum
