Sei B die kanonische Basis von R3 u.a.: Geben Sie die Matrix Mat B',B (IdR3) und die Matrix B =MatB', B'(f) an.

Question

Sei f: R³ → R³ definiert durch

$$f\left( \begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix} \right) =\left( \begin{matrix} x+2y+3z \\ 4y+5z \\ 6z \end{matrix} \right) \\$$

Sei B = (e₁,e₂,e₃) die kanonische Basis von R^3.

1. Geben Sie A= Mat_B,B (f) an.

2. Geben Sie eine Basis von ker(f) und Im(f)

3. Sei B' = (e₂,e₁+e₂,e₃). Zeigen Sie, dass B' eine Basis von R³ ist.

4. Geben Sie die Matrix Mat_B,B' (Id_R³) an.

5. Geben Sie die Matrix Mat _B',B (Id_R³) an.

6. Geben Sie die Matrix B =Mat_{B', B'}(f) an.

Answer 1

Lösung Aufgabe 1:

$$\left( \begin{matrix} x+2y+3z \\ 4y+5z \\ 6z \end{matrix} \right) \\ f\left( \begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} 2 \\ 4 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} 3 \\ 5 \\ 6 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix} \right) =\left( \begin{matrix} x+2y+3z \\ 4y+5z \\ 6z \end{matrix} \right) \\ \\ Matrix A = \left( \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} 2 \\ 4 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} 3 \\ 5 \\ 6 \end{matrix} \right)$$

2. Der Rang der Matrix ist 3. Das Bild im(f) ist daher R³.

Der Kern ker(f) müsste daher aus Dimensionsgründen die Dim 0 haben, also (0/0/0) sein.???

3. Sei B' = (e₂,e₁+e₂,e₃). Zeigen sie, dass B' eine Basis von R³ ist.

Hier genügt es zu zeigen, dass sich e1, e2 und e3 als Linerakomb. der in B' angegebenen Vektoren schreiben lassen.

e2 = 1* e2, e3= 1* e3, e1= (1*(e1 + e2) - 1* e2)              qed

Offen sind nun noch die Punkte 4, 5 und 6:

4. Geben Sie die Matrix Mat_B,B' (Id_R³) an.

5. Geben Sie die Matrix Mat _B',B (Id_R³) an.

6. Geben Sie die Matrix B =Mat_{B', B'}(f) an.

Siehe dazu andere Antwort!

Answer 2

Ich gebe nur die Lösungen an, da es genug andere Beispiele gibt, bei denen der Rechenweg vorhanden ist:

$$4)\quad \begin{pmatrix} -1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\\ 5)\quad \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\\ 6)\quad \begin{pmatrix} 2 & 1 & 2 \\ 2 & 3 & 3 \\ 0 & 0 & 6 \end{pmatrix}$$

Comments

ich verstehe den 3ten punkt nicht ganz: e₂=1/2*(e₂+e₂)+0*(e₁+e₃) kommt bei mir für e₂ raus, wenn ich es als lin. komb. von B' schreibe.. ist doch richtig dass die beiden Vektoren von B' e₂+e₂ und e₁+e₃ sind oder?

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B' hat 3 Vektoren: e2, e1+e2, e3, also (0,1,0), (1,1,0) und (0,0,1)

⇒ e2=1*(0,1,0)+0*(1,1,0)+0*(0,0,1)

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danke, habs verpeilt dass B eine kanonische Basis ist^^

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Bei 6) B' steht zwei Mal also das ist die selbe Basis oder? Ich hab das so wie Affenschaukel.

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Erste Spalte der Matrix bei 6): Ich bilde f(e2)=f(0,1,0)=(2,4,0) und stelle das als Linearkombination der Basisvektoren von B' dar:

(2,4,0)=2*(0,1,0)+2*(1,1,0)+0*(0,0,1).

Die Koeffizienten bilden nun die erste Spalte der Matrix, also (2,2,0). Zweite und dritte Spalte berechne ich genauso und komme auf die Matrix, die ich angegeben habe.