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Sei f: R3 → R3 definiert durch

$$ f\left( \begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix} \right) =\left( \begin{matrix} x+2y+3z \\ 4y+5z \\ 6z \end{matrix} \right) \\  $$

Sei B = (e1,e2,e3) die kanonische Basis von R3.

1. Geben Sie A= MatB,B (f) an.

2. Geben Sie eine Basis von ker(f) und Im(f)

3. Sei B' = (e2,e1+e2,e3). Zeigen Sie, dass B' eine Basis von R3 ist.

4. Geben Sie die Matrix MatB,B' (IdR3) an.

5. Geben Sie die Matrix Mat B',B (IdR3) an.

6. Geben Sie die Matrix B =MatB', B'(f) an.

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Lösung Aufgabe 1:

$$ \left( \begin{matrix} x+2y+3z \\ 4y+5z \\ 6z \end{matrix} \right) \\ f\left( \begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} 2 \\ 4 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} 3 \\ 5 \\ 6 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix} \right) =\left( \begin{matrix} x+2y+3z \\ 4y+5z \\ 6z \end{matrix} \right) \\ \\ Matrix A = \left( \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} 2 \\ 4 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} 3 \\ 5 \\ 6 \end{matrix} \right) $$

2. Der Rang der Matrix ist 3. Das Bild im(f) ist daher R^3.

Der Kern ker(f) müsste daher aus Dimensionsgründen die Dim 0 haben, also (0/0/0) sein.???

3. Sei B' = (e2,e1+e2,e3). Zeigen sie, dass B' eine Basis von Rist.

Hier genügt es zu zeigen, dass sich e1, e2 und e3 als Linerakomb. der in B' angegebenen Vektoren schreiben lassen.

e2 = 1* e2, e3= 1* e3, e1= (1*(e1 + e2) - 1* e2)              qed


Offen sind nun noch die Punkte 4, 5 und 6:

4. Geben Sie die Matrix MatB,B' (IdR3) an.

5. Geben Sie die Matrix Mat B',B (IdR3) an.

6. Geben Sie die Matrix B =MatB', B'(f) an.

Siehe dazu andere Antwort!

von 146 k
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Ich gebe nur die Lösungen an, da es genug andere Beispiele gibt, bei denen der Rechenweg vorhanden ist:

$$ 4)\quad \begin{pmatrix} -1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\\ 5)\quad \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\\ 6)\quad \begin{pmatrix} 2 & 1 & 2 \\ 2 & 3 & 3 \\ 0 & 0 & 6 \end{pmatrix} $$

von 2,5 k

ich verstehe den 3ten punkt nicht ganz: e2=1/2*(e2+e2)+0*(e1+e3) kommt bei mir für e2 raus, wenn ich es als lin. komb. von B' schreibe.. ist doch richtig dass die beiden Vektoren von B' e2+e2 und e1+esind oder?

B' hat 3 Vektoren: e2, e1+e2, e3, also (0,1,0), (1,1,0) und (0,0,1)

⇒ e2=1*(0,1,0)+0*(1,1,0)+0*(0,0,1)
danke, habs verpeilt dass B eine kanonische Basis ist^^
Bei 6) B' steht zwei Mal also das ist die selbe Basis oder? Ich hab das so wie Affenschaukel.

Erste Spalte der Matrix bei 6): Ich bilde f(e2)=f(0,1,0)=(2,4,0) und stelle das als Linearkombination der Basisvektoren von B' dar:

(2,4,0)=2*(0,1,0)+2*(1,1,0)+0*(0,0,1).

Die Koeffizienten bilden nun die erste Spalte der Matrix, also (2,2,0). Zweite und dritte Spalte berechne ich genauso und komme auf die Matrix, die ich angegeben habe.

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