Hoch-, Tief- bzw. Sattelpunkt des Graphen von f bei f(x)= -2x^2-11x+15, f(x)= 3x^3 und f(x)= (x^2-1)^2

Question

Ich weiß zwar, dass es viele Fragen & Antworten bereits zu diesem Thema gibt, aber ich brauche einfach mal die konkreten Antworten zu meiner bestimmten Aufgabe. Diese lautet wie folgt:

Bestimme Hoch, Tief- bzw. Sattelpunkte des Graphen von f.

a) f(x)= 3x^2-2x+1

b) f(x)= x^3-2x-5

c) f(x)= -1/4x^4+x^3-4

d) f(x)= -2x^2-11x+15

e) f(x)= 3x^3

f) f(x)= (x^2-1)^2

Erklärungen bzw. Kommentare wären lieb... Ich habe auch ein paar Stunden im Mathe letztens gefehlt, also wären die Lösungen zu diesen Aufgaben hilfreich zum lernen.

Wir sollen auch den Graphen anschließend skizzieren, aber das kriege ich schon mit Programm hin. Was allerdings auch noch eine Frage wäre, wäre wie man dann erkennt wie der Graph aussieht? Ich weiß, dass es damit zusammenhängt ob die Ableitung größer, gleich oder niedriger als 0 ist. Ist das erstens so richtig, und zweitens was mache ich dann mit dieser Information?

 ! :)

Answer 1

Zur Bestimmung von extrem- oder Sattelstellen setzen wir die erste Ableitung gleich Null. Ich beschränke mich auf die Berechnung der X-Koordinaten. Die Y-Koordinaten bestimmst du durch einsetzen in die Funktionsgleichung f(x).

a) f(x) = 3x^2 - 2x + 1

f'(x) = 6·x - 2 = 0
x = 1/3
Das Muss ein Minimum sein bei einer nach oben geöffneten Parabel. Y-

b) f(x) = x^3 - 2x - 5

f'(x) = 3·x^2 - 2 = 0
x = - √6/3 ∨ x = √6/3
Bei einer Funktion 3. Grades mit positivem Leitkoeffizient ist die kleinere Stelle der Hochpunkt und die größere der Tiefpunkt.

c) f(x) = -1/4x^4 + x^3 - 4

f'(x) = 3·x^2 - x^3 = x^2·(3 - x) = 0
x = 0 ∨ x = 3
Bei 0 haben wir einen Sattelpunkt wegen der doppelten Nullstelle. Bei 3 haben wir dann ein Tiefpunkt.

d) f(x) = -2x^2 - 11x + 15

f'(x) = - 4·x - 11 = 0
x = -2.75
was ist das bei einer nach unten geöffneten Parabel?

e) f(x) = 3x^3

Wir wissen das wir hier ein Sattelpunkt im Ursprung haben.

f) f(x) = (x^2 - 1)^2

f'(x) = 4·x·(x^2 - 1) = 0
x = -1 ∨ x = 0 ∨ x = 1

Bei einer Funktion 4 Grades mit positivem Leitkoeffizienten haben wir von links nach rechts einen Tiefpunkt, Hochpunkt und wieder einen Tiefpunkt.