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Aufgabe:

Gegeben sind die Exponentialfunktion g mit g(x)= a*qx (q>0 und a>0)

a) Zeigen sie: für die Funktion gilt die Gleichung

g(u+v2)=g(u)g(v)g(\frac{u+v}{2})=\sqrt{g(u)g(v)}

b) Gibt es ähnliche Gesetzmäßigkeiten für die lineare Funktion h mit h(x)= m*x+b ?

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a) Zeigen sie: für die Funktion gilt die Gleichung g(u+v/2) = g(u)*g(v) -- In Wurzel √??


3 Antworten

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a) Einsetzen und Potenzgesetze anwenden:

g(u+v/2) = a·qu+v/2= a·qu·qv/2=a·qu·qv \sqrt{q^v} = g(u)*h(v).

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Zu (a):

g(u+v2)=aq(u+v)/2=aquqv=a2quqv=g(\frac{u+v}{2})=a\cdot q^{(u+v)/2} = a\cdot \sqrt{q^u\cdot q^v}=\sqrt{a^2}\cdot \sqrt{q^u\cdot q^v}=

=(aqu)(aqv)=g(u)g(v)= \sqrt{(aq^u) \cdot (aq^v)}=\sqrt{g(u)g(v)}

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Aloha :)

Bei solchen Aufgaben rechnest du am besten den allgemeinen Fall durch:

g(u+v2)=aqu+v2=aqu+v=aquqv=(a>0)a2quqvg\left(\frac{u+v}{2}\right)=a\cdot q^{\frac{u+v}{2}}=a\cdot\sqrt{q^{u+v}}=a\cdot\sqrt{q^u\cdot q^v}\stackrel{(a>0)}{=}\sqrt{a^2\cdot q^u\cdot q^v}g(u+v2)=aquaqv=g(u)g(v)\phantom{g\left(\frac{u+v}{2}\right)}=\sqrt{aq^u\cdot aq^v}=\sqrt{g(u)\cdot g(v)}

Bei einer linearen Funktion h(x)=mx+bh(x)=mx+b gilt ein ähnlicher Zusammenhang:h(u+v2)=mu+v2+b=mu2+mv2+b2+b2h\left(\frac{u+v}{2}\right)=m\cdot\frac{u+v}{2}+b=m\cdot\frac u2+m\cdot\frac v2+\frac b2+\frac b2h(u+v2)=(mu2+b2)+(mv2+b2)=12(mu+b)+12(mv+b)\phantom{h\left(\frac{u+v}{2}\right)}=\left(m\cdot\frac u2+\frac b2\right)+\left(m\cdot\frac v2+\frac b2\right)=\frac12(mu+b)+\frac12(mv+b)h(u+v2)=12h(u)+12h(v)=h(u)+h(v)2\phantom{h\left(\frac{u+v}{2}\right)}=\frac12 h(u)+\frac12 h(v)=\frac{h(u)+h(v)}{2}

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