Zeigen Sie: Für die Exponentialfunktion gilt die Gleichung ...

Question

Aufgabe:

Gegeben sind die Exponentialfunktion g mit g(x)= a*q^x (q>0 und a>0)

a) Zeigen sie: für die Funktion gilt die Gleichung

$g(\frac{u+v}{2})=\sqrt{g(u)g(v)}$

b) Gibt es ähnliche Gesetzmäßigkeiten für die lineare Funktion h mit h(x)= m*x+b ?

Comments

a) Zeigen sie: für die Funktion gilt die Gleichung g(u+v/2) = g(u)*g(v) -- In Wurzel √??

Answer 1

a) Einsetzen und Potenzgesetze anwenden:

g(u+v/2) = a·q^u+v/2= a·q^u·q^v/2=a·q^u·$\sqrt{q^v}$ = g(u)*h(v).

Answer 2

Zu (a):

$g(\frac{u+v}{2})=a\cdot q^{(u+v)/2} = a\cdot \sqrt{q^u\cdot q^v}=\sqrt{a^2}\cdot \sqrt{q^u\cdot q^v}=$

$= \sqrt{(aq^u) \cdot (aq^v)}=\sqrt{g(u)g(v)}$

Answer 3

Aloha :)

Bei solchen Aufgaben rechnest du am besten den allgemeinen Fall durch:

$$g\left(\frac{u+v}{2}\right)=a\cdot q^{\frac{u+v}{2}}=a\cdot\sqrt{q^{u+v}}=a\cdot\sqrt{q^u\cdot q^v}\stackrel{(a>0)}{=}\sqrt{a^2\cdot q^u\cdot q^v}$$$$\phantom{g\left(\frac{u+v}{2}\right)}=\sqrt{aq^u\cdot aq^v}=\sqrt{g(u)\cdot g(v)}$$

Bei einer linearen Funktion $h(x)=mx+b$ gilt ein ähnlicher Zusammenhang:$$h\left(\frac{u+v}{2}\right)=m\cdot\frac{u+v}{2}+b=m\cdot\frac u2+m\cdot\frac v2+\frac b2+\frac b2$$$$\phantom{h\left(\frac{u+v}{2}\right)}=\left(m\cdot\frac u2+\frac b2\right)+\left(m\cdot\frac v2+\frac b2\right)=\frac12(mu+b)+\frac12(mv+b)$$$$\phantom{h\left(\frac{u+v}{2}\right)}=\frac12 h(u)+\frac12 h(v)=\frac{h(u)+h(v)}{2}$$