globale Verhalten der Exponentialfunktion und Gleichung der Asymptote

Question

Aufgabe:

Bestimmen sie das globale Verhalten der Exponentialfunktion und geben sie die Gleichung der Asymptote an.

a) f(x)= 2,5^x -3

b) f(x)= 0,5 *0,8^x +4

Answer 1

Aloha :)

Für eine Potenzfunktion $a^x$ gilt:$$\lim\limits_{x\to\infty}\left(a^x\right)=\left\{\begin{array}{cl}0 & \text{falls }0\le a<1\\1 & \text{falls }a=1\\\infty & \text{falls }a>1\end{array}\right.\quad\text{und}\quad\lim\limits_{x\to-\infty}\left(a^x\right)=\left\{\begin{array}{cl}\infty & \text{falls }0\le a<1\\1 & \text{falls }a=1\\0 & \text{falls }a>1\end{array}\right.$$

zu a) Hier ist $a=2,5>1$, daher gilt:$$\lim\limits_{x\to\infty} f(x)=\lim\limits_{x\to\infty}\left(2,5^x-3\right)=\infty$$$$\lim\limits_{x\to-\infty} f(x)=\lim\limits_{x\to\infty}\left(2,5^x-3\right)=0-3=-3$$Die Asymptote ist also $y=-3$.

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f₁(x) = 2,5^x-3

zu b) Hier ist $a=0,8<1$, daher gilt:$$\lim\limits_{x\to\infty} f(x)=\lim\limits_{x\to\infty}\left(\frac12\cdot0,8^x+4\right)=\frac12\cdot0+4=4$$$$\lim\limits_{x\to-\infty} f(x)=\lim\limits_{x\to\infty}\left(\frac12\cdot0,8^x+4\right)=\infty$$Die Asymptote ist also $y=4$.

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f₁(x) = 0,5·0,8^x+4Zoom: x(-10…10) y(0…9)