Aus einem breiten rechteckigen Blech mit der Länge 5m soll eine Rinne von trapezförmigen Querschnitt hergestellt werden.

Question

Aufgabe: Aus einem breiten rechteckigen Blech mit der Länge 5m soll eine Rinne von trapezförmigen Querschnitt hergestellt werden. Dazu biegt man an den Längsseiten gleich breite Ränder um 60° hoch. Wie breit müssen die Randstreifen gemacht werden, wenn der Querschnitt der Rinne möglichst groß werden soll.

Problem/Ansatz: Kann mir bitte jemand einen Lösungsweg schicken/vorzeigen. Ich komme bei der Aufgabe im Ansatz nicht weiter. Vielen Dank!

Answer 1

x sei die Breite des Randstreifens. Querschnitt:

Comments

Hast du als Breite die 5 m genommen, die eigentlich für die Länge vorgesehen waren?

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Was ist die Breite eines Rechtecks?

Was ist die Länge eines Rechtecks?

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Die Länge ist natürlich dort, wo die Längsseiten sind.

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Meist ist die Länge länger als die Breite.

In der Aufgabe soll eine Rinne gebogen werden und kein Flussbett !!

Answer 2

Du solltest damit Anfangen dir eine Skizze zu machen inder für dich ersichtlich ist wie das Trapez entsteht und welche Längen du darin findest.

A = 1/2·(b - 2·x + b - 2·x + x)·√3/2·x = √3/2·b·x - 3/4·√3·x²

A'(x) = √3/2·b - 3/2·√3·x = 0 --> x = 1/3·b

Die Randstreifen sollten genau 1/3 der Blechbreite betragen.

Comments

Ist eigentlich der Lagrange-Multiplikator endgültig aus dem Lehrplan verschwunden? Die oben gestellte Aufgabe ist doch typisch, um sie nach Lagrange zu lösen. Und zwar ohne(!) die Vorgabe des Knickwinkels von 60°. Das ist doch noch Teil der Lösung.

Ich habe das Gefühl, dass man die 'alten' Aufgaben in den Schulbüchern beibehalten hat und sie nur so weit 'geschönt' hat (-> 60°), so dass sie ohne Lagrange zu lösen sind.

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Was genau ist jetzt was in der Funktion? Und vor allem wie es alles einzeln zustande gekommen...? Genau daran scheitert es ja bei mir... daher wäre eine sehr genaue Erklärung sehr hilfreich. Bis jetzt sind bei mir nur "?" im Kopf.

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Was genau ist jetzt was in der Funktion?

das ist eine sehr gute und absolut berechtigte Frage ;-)

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Schau dir einfach mal die Skizze bei Roland an.

Statt 5 habe ich bei mir b genommen weil die Breite nicht bekannt war.

Du möchtest dann die Fläche berechnen. Wie machst du das. Stelle selber einen Term für das Trapez auf.

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Wissen Sie es? Cool wäre wenn noch eine Erklärung kommen würde. Ich habe wirklich keine Ahnung. Auch der von ihnen erwähnte "Lagrange" ist mir komplett unbekannt. Ich bin 11. Klasse und habe noch nie etwas davon gehört...

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das ist eine sehr gute und absolut berechtigte Frage ;-)

Die sich eigentlich nicht ergibt oder schon klärt, wenn man sich selber mal eine Skizze macht wie ich es empfohlen habe. Inzwischen könnt ihr aber, wenn kein Plan besteht bei Roland abschauen wie man sich eine Skizze machen könnte.

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aber woher kommen die x/2 und das 5-2x... gibt es irgendeine Abbildung oder Erklärung dazu. Aus dem nichts kommen die ja nichts. Klar könnte ich es stur abzeichnen, daraus lernen will ich trotzdem noch. Wenn es zugebenermaßen für mich schon am Verständnis der Skizze scheitert brauch ich mit der Rechnung nicht erst anfangen. Darum geht es mir...

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Du hast ein Blech der Breite b. Roland hat dort 5 genommen. An beiden Seiten wird ein Streifen der Breite x im Winkel von 60 Grad hochgebogen. Damit ist die Grundseite nur noch b - 2x lang und es ergibt sich die gezeichnete Skizze.

Davon ist jetzt die Fläche in Abhängigkeit von x zu bilden.

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Das habe ich jetzt erst grundlegend verstanden... - auch wenn mir noch nicht ganz klar ist warum x auf einmal nur halb so groß ist. Gibt es da irgendwelche mir unbekannten Regeln im Trapez? Vor allem wie genau x/2 * Wurzel 3 zustande.

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Wissen Sie es?

Ja! Natürlich ist es gut, wenn Du Dir selber eine Skizze macht. Es ist nur nicht so einfach - selbst mit Skizze - die Gleichung vom Mathecoach damit zu synchronisieren.

Da der Knickwinkel (blau) 60° ist, ist das grün markierte Dreieck die Hälfte von einem gleichseitigen Dreieck. Wenn man nun die roten Teilstrecken mit $x$ bezeichnet, so ist sind die beiden gelben Strecken genau $x/2$ lang.

Die Höhe $h$ im gleichseitigen Dreieck kannst Du nach Pythagoras berechnen und ist$$h = \frac 12 \sqrt{3} x$$ wenn $x$ die Seitenlänge ist, wie hier. Die Fläche $A$ eines Trapez ist$$A = \frac 12h(a+c)$$wenn $a$ und $c$ die beiden parallelen Seiten sind.

Die grüne Strecke im Bild ist $b-2x$, also die Gesamtbreite minus die beiden hoch gebogenen Kanten. Somit ist hier$$a = b-2x \\ c = a+2\cdot \frac x2 = a+x = b-x \\ A = \frac12h(b-2x + b-x )\\\phantom{A} = \frac12 \cdot \frac12\sqrt3 x(2b-3x)\\\phantom{A}= \frac14 \sqrt3(2bx-3x^2)$$Dass oben beim Mathecoach die doppelte Fläche steht, spielt für die Berechnung des Optimums keine Rolle.

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Auch der von ihnen erwähnte "Lagrange" ist mir komplett unbekannt. Ich bin 11. Klasse und habe noch nie etwas davon gehört...

Steht wohl nicht mehr auf dem Lehrplan. D.h. bis zum Abi wirst Du auch nichts davon hören. Ich persönlich find's schade.

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@werner

Ist eigentlich der Lagrange-Multiplikator endgültig aus dem Lehrplan verschwunden?

Bevor du hier die Früher-war-alles-besser-Story aufwärmst: Hast du einen Beleg dafür, dass der Lagrange-Multiplikator irgendwo oder irgendwann mal Schulstoff war?

Das ist für meine Begriffe ein eindeutig universitarer Stoff, während man die Rinnenaufgabe bereits mit rudimentären Ableitungskenntnissen der Klasse 11 lösen kann.

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Hast du einen Beleg dafür, dass der Lagrange-Multiplikator irgendwo oder irgendwann mal Schulstoff war?

Ja sicher doch! Ich habe das in der 10. oder 11.Klasse in der Schule gelernt. Und damals stand das auf dem Lehrplan.

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Bevor du hier die Früher-war-alles-besser-Story aufwärmst:

Will ich gar nicht. ich persönlich bin aber der Meinung, dass man damit ein viel tieferes Verständnis von Optimalwert-Finden entwickeln kann.

In diesem konkreten Fall ist es der Winkel 120° zwischen dem Boden und den Wänden genau der 'optimale' Winkel der genau so bei der Aufgabe "Verbinde drei Punkte mit einer möglichst kurzen Leitung" vorkommt oder z.B. als Winkel den drei Seifenblasen zueinander einnehmen (Energieminimum)

Fände ich für die Schüler auch viel interessanter als dieses stumpfsinnige Ableiten von Ausdrücken mit Wurzeln und Brüchen. Ok - entfällt hier, da die 60° gegeben sind. Aber dann ist auch der Geck weg ;-)

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Erstmal vielen Dank für die Abbildung und Erklärung... die hat erstmal eine ordentliche Ladung Licht ins dunkle gebracht. Allerdings wäre ich nie ohne eine solche Abb. drauf gekommen. Jetzt habe ich das ganze für mich versucht und komme bei dem letzten Punkt heraus. In dem Falle der gleiche wie in der Abbildung. Dadurch das jetzt trotzdem noch 2 Variablen vorhanden sind, kann ich die Aufgabe noch nicht ableiten und lösen usw. Eine Idee was ich für b oder x einsetzten kann, habe ich allerdings auch nicht. Eine Umstellung nach b oder x gibt es nicht- wo ich nicht noch eine weitere neue Variable in die Formel bringen würde. Und die Lösung vom Mathe_Coach bleibt mir nach wie vor unerschlossen...

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Eine Idee was ich für b oder x einsetzten kann, habe ich allerdings auch nicht.

Tja - das ist das gemeine an dieser Aufgabenstellung! In der Aufgabe ist die Länge(!) des Bleches gegeben - und die ist irrelevant(!), aber kein Wert, der die Breite beschreibt.

Du kannst aber davon ausgehen, dass die Breite $b$ gegeben ist. Du musst also $A(x)$ nur nach $x$ ableiten.

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Ist die Blechbreite nicht mit 5m gegeben?

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Ist die Blechbreite nicht mit 5m gegeben?

ich zitiere:

Aus einem breiten rechteckigen Blech mit der Länge 5m soll eine Rinne von trapezförmigen Querschnitt hergestellt werden. Dazu biegt man an den Längsseiten gleich breite Ränder um 60° hoch.

die deutsche Sprache ist zwar selten eindeutig, aber alle Indizien weisen darauf hin, dass das Blech lang (Länge) und breit (Breite) ist und Länge größer als Breite ist.

Nein IMHO ist die Breite nicht gegeben.

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Aus einem 90 cm breiten rechteckigen Blech mit der Länge 5 m soll eine Rinne von
trapezförmigem Querschnitt hergestellt werden. Dazu biegt man an den Längsseiten
gleich breite Ränder um 60° hoch. Wie breit müssen die Randstreifen gemacht werden,
wenn der Querschnitt der Rinne möglichst groß werden soll?

Ich habe die Aufgabe nicht richtig abgeschrieben… tut mir Leid!

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:-) Na dann weißt Du ja jetzt wie breit $b$ ist.

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Dann habe ich meine Antwort entsprechend korrigiert.