Untersuchen Sie die gegebenen Folgen auf Konvergenz und bestimmen Sie gegebenen- falls den Grenzwert:

Question

Aufgabe:

Untersuchen Sie die gegebenen Folgen auf Konvergenz und bestimmen Sie gegebenenfalls den Grenzwert:

\( a_{n}=\frac{\sqrt{n^{2}-1}-4}{2 n+\sqrt[3]{n^{3}+1}} \)

Answer 1

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

Wir kürzen den Bruch mit \(n\):$$a_n=\frac{\sqrt{n^2-1}-4}{2n+\sqrt[3]{n^3+1}}=\frac{\frac1n\left(\sqrt{n^2-1}-4\right)}{\frac1n\left(2n+\sqrt[3]{n^3+1}\right)}=\frac{\frac{\sqrt{n^2-1}}{\sqrt{n^2}}-\frac4n}{\frac{2n}{n}+\frac{\sqrt[3]{n^3+1}}{\sqrt[3]{n^3}}}=\frac{\sqrt{\frac{n^2-1}{n^2}}-\frac4n}{2+\sqrt[3]{\frac{n^3+1}{n^3}}}=\frac{\sqrt{1-\frac{1}{n^2}}-\frac4n}{2+\sqrt[3]{1+\frac{1}{n^3}}}$$Der Grenzwert der Folge \((a_n)\) ist daher:$$\lim\limits_{n\to\infty}a_n=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{\sqrt{1-\frac{1}{n^2}}-\frac4n}{2+\sqrt[3]{1+\frac{1}{n^3}}}=\frac{\sqrt{1-0}-0}{2+\sqrt[3]{1+0}}=\frac13$$

Comments

Super danke!

Answer 2

Teile Zähler und Nenner durch n, dann siehst du den Grenzwert.

n ist übrigens das Gleiche wie \( \sqrt{n^2} \) oder \( \sqrt[3]{n^3} \).