Konvergenz von uneigentlichen Integralen mittels Vergleichskriterien

Question

Aufgabe:

Problem/Ansatz:

Muss diese Aufgabe für die Uni lösen. Habe jedoch keine Idee wie ich ein passendes Vergleichskriterium dazu finde. Würde um Lösungsansätze bitten. LG

Comments

Hallo
Unterteile das Integral von 0 bis 1 und 1 bis unendlich, dann hast du 2 gute Abschätzungen
ich sehe keine gute für den ganzen Bereich
lul

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a) ist doch bei x=1 gar nicht definiert, also nicht integrierbar

von 0 bis ∞.

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Hallo

eine hebbare Unstetigkeit bei x=1 mit f(1)=0 macht die funktion integrierbar

lul

Answer 1

Aloha :)

zu a) Der Integrand hat drei Nullstellen, $x_1=-1$, $x_2=0$, $x_3=1$. Im Integrationsintervall von $0$ bis $\infty$ ist der Integrand also gar nicht an allen Punkten definiert. Daher existiert das Integral nicht.

zu b) Wir folgen dem Hinweis, wählen aber eine etwas andere Substitution:$$x=-y^2\quad\implies\quad \frac{dx}{dy}=-2y\;;\;y(-\infty)\to\lim\limits_{x\to-\infty}\sqrt{-x}=\infty\;;\;y(0)=0$$sodass für das Integral gilt:$$I=\int\limits_{-\infty}^0\frac{e^x}{\sqrt{|x|}}\,dx=\int\limits_{-\infty}^0\frac{e^x}{\sqrt{-x}}\,dx=\int\limits_{\infty}^0\frac{e^{-y^2}}{y}\,(-2y\,dy)=2\int\limits_0^\infty e^{-y^2}\,dy=2\cdot\frac{\sqrt\pi}{2}=\sqrt\pi$$wobei das Gauß-Integral $\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}\,dx=\sqrt\pi$ als bekannt vorausgesetzt wurde.

Comments

Ich danke dir vielmals <3

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Die Argumentation zu a ist falsch: Gefragt ist nach uneigentlichen Intagralen. Da kann (!) der Integrand durchaus isolierte Lücken haben.

Answer 2

a) Das uneigentliche Integral existiert.

Zum Problem bei x=1: Es gilt

$$x^7-x=x(x^6-1)=x(x-1)(x^5+x^4+x^3+x^2+x+1)$$

Also gilt in einer Umgebung von 1:

$$\frac{x^2-1}{\sqrt{|x^7-x|}}=\frac{x-1}{\sqrt{|x-1|}}\frac{x+1}{x(x^5+ \cdots} \to 0, x \to 1$$

Diese Stell ist also eine stetig hebbare Lücke und für das Integral unerheblich.

Integrierbarkeit "bei 0": Es gilt in einer rechtsseitigen Umgebung von 0:

$$\frac{x^2-1}{\sqrt{|x^7-x|}}=\frac{1}{\sqrt{x}} \frac{x^2-1}{(1-x)(x^5+ \cdots )}$$

Der 2. FAktor konvergiert gegen -1, also lässt sich der Absolutbetrag des Integranden in einer geeigneten rechtsseitigen Umgebung nach oben abschätzen durch (zum Beispiel) $2/\sqrt{x}$. Dies ist ungeigentlich integrierbar:

$$\int_s^1 x^{-1/2} dx=\left[2x^{1/2}\right]_s^1 \to 2, s \to 0$$

Integrierbarkeit "bei $\infty$":

Frü große x ist:

$$\frac{x^2-1}{\sqrt{|x^7-x|}}=\frac{x^2}{x^{3.5}}\frac{1-x^{-2}}{\sqrt{1-x^{-6}}}$$

Also lässt sich der Integrand absolut für große x abschätzen durch $2/x^{1.5}$. Dies ist ebenfalls uneigentlich integrierbar.