Hallo Milaine,
Willkommen in der Mathelounge!
Der Wendepunkt einer kubischen Funktion bzw, ganzrationalen Funktion dritten Grades liegt genau in der Mitte zwischen Hoch- und Tiefpunkt (falls sie existieren). Heißt hier: \(W=(2|\,2)\).
Da die kubische Funktion bezogen auf ihren Wendepunkt symmetrisch ist, lässt sich das Polynom wie folgt schreiben:$$f(x)= a(x-x_w)^3 + c(x-x_w) + f_w$$mit \(W(x_w|\,f_w) = (2|\,2)\) heißt das für die Funktion und ihre Ableitung$$f(x)= a(x-2)^3 + c(x-2) + 2\\f'(x)= 3a(x-2)^2+c$$Wegen des Tiefpunkts \(T(1|\,0)\) gilt$$f(1)= a(1-2)^3 +c(1-2)+2 = 0 \\f'(1)= 3a(1-2)^2 + c = 0$$Das sind zwei Gleichungen mit den Unbekannte \(a\) und \(c\), also$$-a-c=-2 \\ 3a+c=0$$Addition beider Gleichungen gibt $$2a=-2 \implies a = -1\\ 3(-1)+c=0 \implies c=3$$Also lautet die Funktion$$f(x) = -(x-2)^3 +3(x-2)+2 \\ \phantom{f(x)}= -x^{3}+6x^{2}-9x+4$$
Der Koordinatenursprung ist Wendepunkt,der Punkt H(3/2) ist Hochpunkt.
und das ist eine andere Aufgabe - oder? Der Tiefpunkt liegt wegen der Punktsymmetrie bei \(T(-3|\,-2)\) und die Funktion lautet $$f(x)= -\frac{1}{27}x^{3}+x$$und die Rechnung geht genau wie oben, nur mit andere Zahlen.
Falls Du noch Fragen hast, so melde Dich bitte.
Gruß Werner
