Berechne den Drehwinkel und die Koordinaten von P

Question

Aufgabe: Der Punkt P wird mit Der Drehmatrix $$M=\begin{pmatrix} -0,94 & 0,34 \\ -0,34 & -0,94 \end{pmatrix}$$auf den Punkt P'(-4/-2,5) abgebildet.

Berechne den Drehwinkel und die Koordinaten von P

Problem/Ansatz:

-4   =-0,94*x+0,34*y

-2,5 =0,34*x-0,94*y

aus I) 0,34y=-4+0,94x     /0,34

             y = 2,7647*x - 11,7647

y in II) ....... x= 4,6

x in I für y

-4 =-0,94 * 4, +0,34 *y

y= 0,94                           --- P(4,6 / 0,94)

Den Winkel habe ich mit cos^-1 = -0,94 --- phi = 160,5, Nebenwinkel =19,95

oder sin -1= 0,34 --- phi= 19,89

Darf da eigentlich so ein Unterschied sein, ob ich den Winkel mit cos oder Sin bestimme

Bitte Hilfe

Uli

Answer 1

Wenn man weiß, was wo in der Drehmatrix steht, dann gilt cos α=-0,94 (was auf einen Winkel im 2. oder 3. Quadranten hindeutet)  und sin α=-0,34 (was nur bei einem Winkel im 3. oder 4. Quadranten der Fall ist). Die Zusammenführung beider Informationen legt klar fest, dass der Winkel im 3. Quadranten liegen muss. (Für den 4. Qu. wäre es der falsche Kosinus, für den 2. Qu. der falsche Sinus).

Der richtige Drehwinkel ist also reichlich 199° (und nicht 19° oder 161°).

In deiner Tabelle stehen schlechte Näherungswerte, daher die Abweichung.

Es muss sin²x+cos²x=1 gelten, aber 0,34²+0,94² ist 0,9992.

Comments

ich muss eine Rechnung hinschreiben, wie ich auf 199 Grad komme.

meine Rechnung für den Punkt, ist die ok ?

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meine Rechnung für den Punkt, ist die ok ?

Ist die Frage ernst gemeint?

Du hast in deinen Rechnungen 199° nie erwähnt, also kann da nicht alles okay sein.

ich muss eine Rechnung hinschreiben, wie ich auf 199 Grad komme.

Den Lösungsweg habe ich dir doch geben:

Aus cos α=-0,94 folgt α=... oder  α=...

Aus sin α=-0,34 folgt α=... oder α=...

Beide Bedingungen sind nur erfüllt für ...

Answer 2

Hallo Uli,

Darf da eigentlich so ein Unterschied sein, ob ich den Winkel mit cos oder Sin bestimme

Nein, bei WInkel die im gesammten Kreisintervall von \((-180°\dots 180°]\) liegen, müssen beide(!) Werte berücksichtig werden. Mache Dir das an Hand des EInheitskreises klar:

Der rote Pfeil ist der (gerichtete) Cosinus und der gelbe der Sinus (nach unten weil negativ). Beide Werte lassen sich direkt aus der Drehmatrix entnehmen (siehe Deine letzte Frage). Offensichtlich liegt der Winkel bei ca. \(-160°\).

Berechne den Wert ggf. mit dem Arkustangens$$\varphi = \arctan\left(\frac{\cos \varphi}{\sin\varphi}\right) = \arctan\left(\frac{-0,94}{-0,34}\right) \approx -160,1°\space(:=+199,9°)$$Dein TR wird wahrscheinlich \(19,9°\) anzeigen. Ziehe \(180°\) ab (oder addiere sie), damit der Winkel im Qudranten unten links zu liegen kommt (s. Skizze). Durch die Division der Werte gleichst Du hier auch evt. Rundungsfehler aus.

Gruß Werner

Comments

meine Rechnung für den Punkt, ist die ok ?

sie ist überflüssig. Du kannst die Werte direkt der Drehmatrix entnehmen.

Ich zitiere:

Jede Drehmatrix \(D\) in der Ebene hat die Form$$D=\begin{pmatrix} \cos \alpha & -\sin\alpha \\ \sin\alpha & \cos\alpha \end{pmatrix}$$

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Wenn Du nach der 'Funktion' fragst, die Dir den korrekten Winkel liefert, das ist die arctan2-Funktion:$$\arctan2(-0,94;\,-0,34) \approx -160,1°$$und zu \(199,9°\) kommst Du dann, wenn Du \(360°\) addierst.

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Wenn Du nach der 'Funktion' fragst, die Dir den korrekten Winkel liefert, das ist die arctan2-Funktion:

Hallo Werner,

das ist für den Fragesteller möglicherweise nur bedingt hilfreich. Du beschreibst hier etwas, was als streng mathematische Funktion nicht allgemein anerkannt ist. Das ist doch nur eine von Taschenrechner- und Softwareentwicklern eingeführte Hilfskrücke, bei der nicht einmal verbindlich festgelegt wurde, welcher der beiden wesentlichen Werte zuerst genannt wird.

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hallo Werner,

Danke für Deine Ausführung. Ich hab jetzt kapiert, warum der TR

19,9 auswirft, ich aber dann weiter denken muss.

Das mit dem Arc tan haben wir noch nicht gehabt.

jetzt muss ich trotzdem noch die Koordinaten des Urpunktes P

berechnen.

Oder geht die nur im NACHHINEIN; wenn man eben den Winkel 199,9

rausbekommen hat

Da könnte ich schwören, dass das keiner meiner Mitschüler rausbringt.

Bitte beantworte mir das noch, damit ich mir da sicher sein kann.

Danke

Uli

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Hallo Uli,

jetzt muss ich trotzdem noch die Koordinaten des Urpunktes P berechnen.

Ok ... das hattest Du bisher nicht gefragt.

Oder geht die nur im NACHHINEIN; wenn man eben den Winkel 199,9 rausbekommen hat

Nein, das ist nicht nötig. Es geht zunächst mal genauso wie Du es bereits gemacht hast, indem Du das Gleichungssystem$$M \cdot P = P'$$ mit der Unbekannten \(P(x|\,y)\) gelöst hast. Die Gleichung oben ist allgemein nach \(P\) aufzulösen, durch (Links-)Multiplikation der Gleichung mit \(M^{-1}\) der Inversen von \(M\).$$P = M^{-1} \cdot P'$$Nun gibt es aber bei den Drehmatrizen der Ebene eine Besonderheit. Hier gilt $$M^{-1} = M^T$$\(M^T\) ist die Transponierte von \(M\). D.h. es sind lediglich die Elemente links unten und rechts oben zu tauschen - also$$M=\begin{pmatrix} -0,94 & 0,34 \\ -0,34 & -0,94 \end{pmatrix} \implies M^{-1}=M^T=\begin{pmatrix} -0,94 & -0,34 \\ 0,34 & -0,94 \end{pmatrix}$$Und damit ist$$P = M^{-1}\cdot P' = \begin{pmatrix} -0,94 & -0,34 \\ 0,34 & -0,94 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -4 \\ -2,5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4,61 \\ 0,99 \end{pmatrix} $$D.h. die Kenntnis des Winkels ist dazu in keinem Fall notwendig.

mach immer eine Skizze:

das hilft immer. Hier sieht man, dass \(P\) durch eine Drehung um \(160,1°\) im negativen(!) Drehsinn nach \(P'\) überführt wird.

Gruß Werner

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danke, jetzt hab ich alles verstanden, auch das mit der transponierten Matrix.

Kann es so jetzt auch meinen Mitschülern erklären.

Danke,danke

uli