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Aufgabe:

Mit der Basiswechselmatrix \( P \) von der Orthonormalen ... in der 3. Spalte enthalten, die Vektoren \( e_{2} \) und ... unsere Matrix \( A \) in die berechnete Orthonormalbasis ... lässt:

\( \begin{aligned} P &=\left(\begin{array}{ccc}\frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} \\ 0 & 1 & 0 \\ \frac{-1}{\sqrt{2}} & 0 & \frac{1}{\sqrt{2}}\end{array}\right) \\ \Rightarrow P^{T} A P &=\left(\begin{array}{ccc}\frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & \frac{-1}{\sqrt{2}} \\ 0 & 1 & 0 \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & \frac{1}{\sqrt{2}}\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}\frac{1}{2} & \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{2} \\ \frac{-1}{\sqrt{2}} & 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{2} & \frac{-1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{2}\end{array}\right) \\ &=\left(\begin{array}{ccc}\frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & \frac{-1}{\sqrt{2}} \\ 0 & 1 & 0 \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & \frac{1}{\sqrt{2}}\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\ -1 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{-1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}}\end{array}\right) \\ &=\left(\begin{array}{ccc}0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}\cos \theta & -\sin \theta & 0 \\ \sin \theta & \cos \theta & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right) \\ \Rightarrow \cos \theta &=0 \\ \sin \theta &=-1 \\ \Rightarrow \theta &=\frac{3 \pi}{2} \end{aligned} \)
Die Matrix \( A \) stellt also eine Drehung von \( 270^{\circ}= \cdots \)

Ich muss die Drehachse und Drehwinkel einer Matrix bestimmen. Wie man die Drehachse bestimmt weiß ich, aber blicke beim Drehwinkel nicht durch. Kann mir bitte jemand ein verständliches verfahren erläutern wie ich den Drehwinkel berechne?

Wie komme ich in dem Beispiel auf die 270°?

von

1 Antwort

+2 Daumen

erstmal zu deinem Beispiel. Die Matrix

\( \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \)

ist eine Drehmatrix. Denn sie ist orthogonal \( ((P^TAP) (P^TAP)^T = E_3) \) und die Determinante ist gleich 1 \( (\det(P^TAP) = 1) \).

Die allgemeinen Formen einer Drehmatrix sind:

Drehung um x-Achse:\( \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos \theta & -\sin \theta \\ 0 & \sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix} \)

Drehung um y-Achse: \( \begin{pmatrix} \cos \theta & 0 & \sin \theta \\ 0 & 1 & 0 \\ -\sin \theta & 0 & \cos \theta \end{pmatrix} \)

Drehung um z-Achse: \( \begin{pmatrix} \cos \theta & -\sin \theta & 0 \\ \sin \theta & \cos \theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \)

Was in deinem Beispiel nun gemacht wurde, ist, die Matrix \( P^TAP \) gleich der z-Drehmatrix zu setzen und einen Koeffizientenvergleich zu machen:

\( \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \) = \( \begin{pmatrix} \cos \theta & -\sin \theta & 0 \\ \sin \theta & \cos \theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \)

Im 1-1-Eintrag sowie im 2-2-Eintrag sehen wir, dass \( \cos \theta = 0 \) gelten muss. Im 1-2-Eintrag muss \( -\sin \theta = 1 \) und im 2-1-Eintrag muss \( \sin \theta = -1 \) sein. Der Rest passt.

Diese Bedingungen schreiben wir nun einmal ordentlich als LGS auf,

(GL.1) \(\ \cos \theta = 0 \)

(GL.2)  \(\ -\sin \theta = 1 \)

(GL.3) \(\ \sin \theta = -1 \)

wobei sofort auffällt, dass (GL.2) und (GL.3) sich nur um das Vorzeichen unterscheiden. Wir können also ohne Probleme nur

(GL.1') \(\ \cos \theta = 0 \)

(GL.2')  \(\ \sin \theta = -1 \)

betrachten. Dieses Gleichungssystem gilt es nun zu lösen. Als Ergebnis bekommen wir \( \theta = \frac{3}{2}\pi \), wobei \( \frac{3}{2}\pi = 270^\circ\) gilt. Das heißt, wir haben auf der rechten Seite, bei der Gleichsetzung, eine Matrix mit einer Drehung von \( 270^\circ \) um die z-Achse. Da die beiden Matrizen gleich sind, gilt dies auch für die linke Matrix, unserer ursprünglichen Matrix. Folglich erhalten wir, dass der Drehwinkel von \( P^TAP \) gleich \( 270^\circ \) ist.


Ob man es nun immer so machen kann, kann ich dir gerade nicht sagen. Was man aber immer machen kann, ist das folgende Verfahren anzuwenden:

Der Drehwinkel \(\theta\) einer Drehmatrix D ist definiert als

\(\cos \theta = \frac{1}{2}(Spur(D) - 1)\).

Die Spur einer Matrix ist die Summe seiner Diagonaleinträge:

M = \( \begin{pmatrix} m_{1,1} & m_{1,2} & m_{1,3} \\ m_{2,1} & m_{2,2} & m_{2,3} \\ m_{3,1} & m_{3,2} & m_{3,3} \end{pmatrix} \implies Spur(M) = m_{1,1} + m_{2,2} + m_{3,3}\)

oder Allgemein für eine Matrix der Dimension d:

Spur(M) = \(\sum_{n=1}^d m_{n,n} \).

Die Formel für den Drehwinkel können wir auch schreiben als

\( \theta = \pm \arccos ( \frac{1}{2}(Spur(D) - 1) ) \),

wobei man hier aufpassen muss, dass wir hier ein \( \pm \) stehen haben. Ob der Drehwinkel nun positiv oder negativ ist, hängt von der Drehachse ab. Das ist aber gar nicht so schwer, herauszufinden, welches Vorzeichen wir haben. Die Voraussetzung dafür ist, dass wir die Drehachse kennen oder vorhin berechnet haben. Die Drehachse definiere ich mal als \( \vec{n} \). Folgende Schritte sind nun zu machen:

- Bestimme einen beliebigen Vektor \( \vec{v} \), der senkrecht auf deiner Drehachse steht.

- Multipliziere diesen Vektor nun mit deiner Drehmatrix D: \( D\vec{v} = \vec{w} \).

- Bilde das Kreuzprodukt \( \vec{v} \times \vec{w} = \vec{z}\).

Nun gilt es, die Vorzeichen von \( \vec{z} \) und \( \vec{n} \) zu vergleichen:

\(\theta = \left\{\begin{array}{cc} \arccos ( \frac{1}{2}(Spur(D) - 1) ) & \text{Vorzeichen stimmen überein} \\ -\arccos ( \frac{1}{2}(Spur(D) - 1) ) & \text{Vorzeichen sind verschieden} \end{array}\right.\).


Warum dieses Verfahren? Kennen wir die Drehachse, bestimmen wir einen Vektor, der senkrecht auf dieser Drehachse steht. Mit der Multiplikation der Drehmatrix drehen wir diesen Vektor um den, uns noch unbekannten Winkel, \( \theta \). Bilden wir nun das Kreuzprodukt von \( \vec{v} \) und \( \vec{z} \), erhalten wir einen Vektor, der senkrecht auf diesen beiden steht. Dieser ist nun aber per Konstruktion parallel zur Drehachse. Sind die Vorzeichen gleich, zeigt der Vektor \( \vec{z} \) in die gleiche Richtung.Drehwinkel.PNG


Sollte noch etwas unklar sein, frag gerne nach.


Lg

von

Danke für die ausführliche Antwort.


Meine Drehachse ist der Vektor \( \begin{pmatrix} 1\\0\\1 \end{pmatrix} \) . Ich habe mir den orthogonalen Vekor \( \begin{pmatrix} 1\\0\\-1 \end{pmatrix} \) ausgesucht. Multipliziert mit der Drehmatrix ergibt das den Vektor \( \begin{pmatrix} 0\\-2\sqrt{2}\\0 \end{pmatrix} \) und Kreuzprodukt ergibt \( \begin{pmatrix} 2\sqrt{2}\\0\\-2\sqrt{2} \end{pmatrix} \)

Also irgendetwas stimmt hier nicht oder?

Außerdem ergibt die Spur = 2, also arccos(\( \frac{1}{2} \)) und demnach 60°, was ja auch nicht sein kann. Wo liegt mein Fehler?

Du hast dich beim Kreuzprodukt um ein Vorzeichen im ersten Eintrag vertan:

\(\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 0 \\ -2\sqrt{2} \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \cdot 0 - (-1)\cdot(-2\sqrt{2}) \\ (-1) \cdot 0 - 1 \cdot 0 \\ 1 \cdot (-2\sqrt{2}) - 0 \cdot 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2\sqrt{2} \\ 0 \\ -2\sqrt{2} \end{pmatrix}\).

Mit der Spur 2 erhältst du also

\( \theta =  -\arccos(\frac{1}{2}) = -60^\circ\) bzw. \(\theta' = 360^\circ - 60^\circ = 300^\circ \), wenn du einen positiven Winkel haben möchtest.


Passt dieses Ergebnis eher? Schreib ansonsten bitte deine Drehmatrix auf, sodass ich dann selber nochmal nachrechnen kann. Ohne die Drehmatrix explizit zu kennen, ist es schwierig, dir da weiterhelfen zu können.


Lg

Danke, das ergibt schon mehr Sinn.

Aber weshalb kam beim anderen Verfahren der Winkel 270° raus?


Die komplette Aufgabe lautet:


Zeigen Sie dass die Matrix A = \( \frac{1}{2} \) \( \begin{pmatrix} 1 & \sqrt{2}  & 1\\ -\sqrt{2} & 0 & \sqrt{2} \\ 1 & -\sqrt{2} & 1 \end{pmatrix} \) Element in SO(3) ist. Bestimmen sie den Drehwinkel und die Drehachse der durch A dargestellten Drehung.

Du hast, so vermute ich, den Faktor \(\frac{1}{2}\) bei der Berechnung der Spur vergessen:

\(\frac{1}{2}\begin{pmatrix} 1 & \sqrt{2} & 1 \\ -\sqrt{2} & 0 & \sqrt{2} \\ 1 & -\sqrt{2} &1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{1}{2} \\ -\frac{\sqrt{2}}{2} & 0 & \frac{\sqrt{2}}{2} \\ \frac{1}{2} & \frac{-\sqrt{2}}{2} &\frac{1}{2} \end{pmatrix}\)

Die Spur ergibt nun

\(Spur(A) = \frac{1}{2} + 0 + \frac{1}{2} = 1\).

Damit erhalten wir jetzt

\(\theta = \pm \arccos(\frac{1}{2}(Spur(A) - 1)) = \pm \arccos(0) = \pm 90^\circ\).

Wir wissen von vorhin, dass wir hier ein Minus erhalten, also haben wir hier

\( \theta = -90^\circ \) bzw. \( \theta' = 360^\circ - 90^\circ = 270^\circ \).


Lg

Danke!!

Ich habe tatsächlich vergessen den Faktor \( \frac{1}{2} \) miteinzubeziehen.

Jetzt ergibt alles Sinn.

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