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Aufgabe:

Folgende Messdaten sind gegeben:

x0= -1, y0= -4

x1= 0, y1= -1

x2= 1, y2= 2

x3= 2, y3= 11


Problem/Ansatz:

In der ersten Aufgabenteil sollte Interpolationspolynom mittels Newtonschen Verfahrens bestimmt werden, was ich gelöst habe und folgende Polynom als Ergebnis bekommen habe: p(x)= x3 + 2x - 1


Im zweiten Teil der Aufgabe sollte Fehler eingeschätzt werden:

Geben Sie eine Abschätzung für den maximalen Interpolationsfehler auf dem Intervall [-2,2] an, unter der Annahme, dass für x aus [-2,2]: max |f(n)(x)| <= n/2 gilt.

Kann mir jemand bitte einen Hinweis geben wie ich hier vorgehen soll? Ich glaube der Formel lautet:

En[f](x*)= (f(n+1)(ξ))*(ωn+1(x*)) / (n+1)! mit ωn+1(x)=(x-x0)(x-x1)....(x-xn) und ξ∈[x0,xn]

Ich wäre sehr dankbar für eine detallierte Erklärung. Vielen Dank im Voraus :)

von

1 Antwort

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Hallo :-)

Dein Interpolationspolynom stimmt.

Du betrachtest hier die folgende Norm mit stetigen Funktionen:

$$ \|h\|_{\mathcal{C}([a,b])}:=\max_{x\in [a,b]}|h|=h(\xi), \quad \xi\in [a,b]. $$

Bei der Fehlerabschätzung interessiert man sich in der Regel für den Betrag der Abweichung, also:

$$ \begin{aligned}E_n(f):&=\|f-p_n\|_{\mathcal{C}([-2,2])}=\max_{x\in [-2,2]} |f-p_n|\\[20pt]&=\frac{1}{(n+1)!}\cdot \max_{x\in [-2,2]} \left|f^{(n+1)}\right|\cdot \max_{x\in [-2,2]} \left|w_{n+1}\right|. \end{aligned}$$

Zunächst ist $$ w_4(x)=(x+1)(x-0)(x-2)(x-11) $$

und damit hat man $$ \max_{x\in [-2,2]} \left|w_4\right|=104. $$

Nach Voraussetzung ist $$ \max_{x\in [-2,2]} \left|f^{(n)}\right|\leq \frac{n}{2}. $$

Damit hat man insgesamt:

$$ \begin{aligned} E_3(f):&=\max_{x\in [-2,2]} |f-p_3|=\frac{1}{(3+1)!}\cdot \max_{x\in [-2,2]} \left|f^{(3+1)}\right|\cdot \max_{x\in [-2,2]} \left|w_{3+1}\right|\\[20pt]&\leq \frac{1}{(3+1)!}\cdot \frac{3+1}{2}\cdot 104=\frac{1}{4!}\cdot \frac{4}{2}\cdot 104=\frac{1}{12}\cdot 104\leq \frac{1}{12}\cdot 108=9 \end{aligned}$$

von 14 k

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