Problem mit Untervektorräumen

Question

Aufgabe:

Sei V der Vektorraum der Funktionen f : R ⇒ R. Sei U die Menge der Funktionen f mit der Eigenschaft, dass f(x) = f(−x) für alle x ∈ R gilt, W die Menge der Funktionen f mit der Eigenschaft, dass f(x) = −f(−x) für alle x ∈ R gilt. Zeigen Sie, dass U und W Unterräume von V sind, und dass sich jede Funktion f ∈ V eindeutig als Summe f = g + h mit g ∈ U und h ∈ W schreiben lässt.

Problem:

Mir fehlt leider jeglicher Ansatz für die Aufgabe.

Answer 1

Betrachte g(x)=(f(x)-f(-x)/2 und h(x)=(f(x)+f(-x))/2

Dann ist g ∈ U und u ∈ W und g+h=f.

Also lässt sich jedes f als so eine Summe schreiben.

Eindeutig ist das, weil nur die 0-Funktion in beiden Räumen ist.