Stellen von Sinus- und Kosinusfunktion im angegeben Intervall

Question

Aufgabe:

Betrachte die Sinus- und die Kosinusfunktion im Intervall (-720°; 720°).

a) An welchen Stellen gilt in diesem Intervall sin(x) = 0,9336. (Bitte auf ganze Grad runden!)

b) An welchen Stellen gilt in diesem Intervall cos(x) = 0,1564. (Bitte auf ganze Grad runden!)

Problem/Ansatz:

Hallo zusammen,

ich weiß gar nicht wie ich anfangen soll :(

Also bei a) hab ich schon mal 69° und 111° raus, aber ich verstehe nicht wie ich mit den angegeben Intervallen die Aufgaben a) und b) lösen soll.

Vielen lieben Dank für eure Hilfe.

Answer 1

Hallo,

ich weiß gar nicht wie ich anfangen soll :(

es hilft immer, sich ein Bild von der Funktion zu machen. Unten siehst Du die Sinus-Funktion im Intervall von -720° bis +720°.

Das sind 4 Vollkreise und pro Kreis gibt es für einen Wert einer trigonometrischen Funktion ($\sin$, $\cos$ oder $\tan$) im Allgemeinen zwei Winkel. Etwagige Extremlagen mal ausgenommen. D.h. hier sind in Summe $4 \cdot 2 = 8$ Winkel zu erwarten.

Die Sinus-Funktion schneidet die blaue Waagerechte von $y=0,9336$ im angegebenen Intervall an 8 Stellen. Du kannst die Winkel ablesen (auf ganze Zahlen gerundet), wenn Du die Punkte mit der Maus horizontal verschiebst. Die Winkel sind jeweils um einen Kreis - d.h. 360° - verschoben.

Für den Cosinus geht es genauso. Im Intervall von $[0°\dots360°)$ ist $$\arccos(0,1564) \approx (81°,\,279°)$$Addiere zu jedem Wert des Paares 360° und ziehe genauso zweimal 360° ab. Dann erhältst Du wieder die 8 gesuchten Werte.

Gruß Werner

Comments

Können Sie mir nochmal bitte erklären was mit dem Intervall gemeint ist, was zeigt es an?

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Und sind es eigentlich nicht 2 Vollkreise, weil ein Vollkreis ist doch 360°, oder?

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Wie haben Sie den Intervallwert in GeoGebra eingegeben?

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Können Sie mir nochmal bitte erklären was mit dem Intervall gemeint ist, was zeigt es an?

Es geht um das Intervall von -720° bis +720°.

Stelle Dir die beiden Zeiger einer Uhr vor. Angenommen sie stehen beide auf der 12 - also 12:00 Uhr. Dreht man den Minutenzeiger einmal im Kreis, so hat er einen Winkel von 360° zurück gelegt. Dreht man ihn nochmal um einen Vollkreis, so hat er $2\cdot360°=720°$ zurück gelegt. Im Falle der Uhr, informiert uns darüber der Stundenzeiger, der jetzt auf der $2$ steht, wenn man den Minutenzeiger nach vorn gestellt hat.

Da ganze geht auch rückwärts, zwei Vollkreise a 360° zurück gestellt, zeigt die Uhr 10:00 Uhr an. Wir betrachten nur den Winkel, den sich der Minutenzeiger bewegt und wenn er sich zwischen -720° und +720° bewegt, so zeigt die Uhr eine Uhrzeit zwischen 10:00 und 02:00 an. Das sind 4 Stunden; bzw. 4 Vollkreise des Minutenzeigers.

D.h. wenn man vom Intervall von -720° bis +720° redet, meint man die 4 Umdrehungen des Minutenzeigers. Und die Werte der trigonometrischen Funktionen wiederholen sich alle 360°.

Und sind es eigentlich nicht 2 Vollkreise, ...

Es sind 4. 2 Kreise von -720° bis 0° und 2 von 0° bis +720°..

... weil ein Vollkreis ist doch 360°, oder?

natürlich; das ist richtig.

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Wie haben Sie den Intervallwert in GeoGebra eingegeben?

Nein - das ist Desmos. Klicke bitte unten rechts im Bild auf das 'Desmos'-Symbol. Dort habe ich das Intervall angegeben. Wenn sich die App geöffnet hat, siehst Du es oben links in der ersten Zeile.

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Vielen lieben Dank, Sie haben mir echt geholfen :)

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Hallo nochmals,

ich hätte eine Frage, nämlich was ist wenn in der Aufgabenstellung steht:

Für welche Winkel alpha im Intervall -360°<alpha<720° gilt:

a) sin(alpha) = 0,5736    b) cos (beta) = 0,1736

Runde jeweils auf Zehntel.

Würde dann das gleiche Prinzip funktionieren wie Sie es mir erklärt haben oder müsste ich einen anderen Weg einschlagen um die Ergebnisse herauszubekommen? Schließlich heißt es ja jetzt  (-360°<alpha<720°) und nicht  (-720° bis +720°). Das macht doch jetzt oder einen Unterschied, oder nicht?

Vielen Dank :)

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Das macht doch jetzt oder einen Unterschied, oder nicht?

Nein - das macht keinen Unterschied. Es ändert sich nur die Zahl bzw. die Grenze des Intervalls in dem die Winkel gesucht sind. Hier das Bild dazu mit $\cos(x)=0,1736$ im Intervall -360° bis +720°:

D.h das andere Intervall schränkt nur die Kosinus-Funktion ein und es sind wieder nur die Schnittpunkte der Kosinus-Funktion mit der Horizontalen $y=0,1736$ in diesem Intervall gesucht bzw. relevant.

Das Vorgehen ist immer gleich. Du berechnest den Winkel mit Deinem TR. Hier ist $$c_1=\arccos(0,1736) \approx 80°$$Denke daran, es gibt immer zwei Lösungen! Beim Kosinus ist die zweite Lösung immer der negative Wert, also $$c_2=-c_1=-80°$$Beim Sinus ist der zweite Wert immer der Wert aus der Subtraktion von $180°$ also $$s_2=180°-s_1$$Von jedem der beiden Werte subtrahierst Du solange 360° bis Du die untere Grenze des Intervalls erreichst und dann addierst Du solange 360° bis Du die obere Grenze erreichst. Und jeder Wert des Winkels innerhalb des Intervalls ist eine gültige Lösung.

Answer 2

Hallo,

da das Intervall von -720° bis +720° geht, musst du zu deinen Ergebnissen nur +360° , -360° oder 2•(-360°) addieren.

:-)

Answer 3

Aloha :)

Die Umkehrfunktionen zu Sinus und Cosinus geben genau einen Winkel zurück. Beim Arcus-Sinus liegt dieser Winkel im Intervall $[-90^\circ\big|+90^\circ]$. Beim Arcus-Cosinus liegt dieser Winkel im Intervall $[0^\circ\big|180^\circ]$. Das hat damit zu tun, dass beide Winkelfunktionen in dem jeweiligen Winkelbereich streng monoton sind.

Es kann noch einen zweiten Winkel innerhalb einer Periode von $360^\circ$ geben, der denselben Sinus- bzw. Cosinus-Wert hat. Für seine Bestimmung kannst du dir merken:$$\sin(180^\circ-x)=\sin(x)\quad;\quad\cos(x)=\cos(-x)$$

Und wegen der $360^\circ$-Periode kannst du natürlich zu den erhaltenen Ergebnissen beliebig oft $360^\circ$ addieren oder subtrahieren...

Wir sollen alle Winkel im Intervall $[-720^\circ\big|+720^\circ]$ angeben, für die gilt:

zu a) $\sin(x) = 0,9336$

Mit dem Taschenrechner auf "Degree" eingestellt erhalten wir:$$x=\arcsin(0,9336)\approx69^\circ$$Einen zweiten Winkel erhalten wir über$$180^\circ-x=180^\circ-69^\circ=111^\circ$$Durch Addition / Subtraktion von $360^\circ$ finden wir folgende Lösungen:$$-651^\circ\;;\;-291^\circ\;;\;69^\circ\;;\;429^\circ\quad;\quad-609^\circ\;;\;-249^\circ\;;\;111^\circ\;;\;471^\circ$$

zu b) $\cos(x) = 0,1564$

Mit dem Taschenrechner auf "Degree" eingestellt erhalten wir:$$x=\arccos(0,1564)\approx81^\circ$$Einen zweiten Winkel erhalten wir über$$-x=-81^\circ$$Durch Addition / Subtraktion von $360^\circ$ finden wir folgende Lösungen:$$-639^\circ\;;\;-279^\circ\;;\;81^\circ\;;\;441^\circ\quad;\quad-441^\circ\;;\;-81^\circ\;;\;279^\circ\;;\;639^\circ$$

Comments

Und was wäre wenn der Intervall:

a) (90°; -90°) 

b) (180°; -180) 

c) (360°; -360°)

d) (810°; - 810°) 

...wäre, weil ich verstehe nicht ganz wie man dann die Rechenwege angehen soll. Woher weiß ich denn, bei welchen Intervallen man was und wie viel abziehen oder subtrahieren muss? Was sagen denn die Intervalle aus? Wie kann ich anhand eines Intervalls Stellen einer Sinus - und Kosinusfunktion herausfinden?

Können Sie mir vielleicht sagen auf was ich denn bei solchen Aufgaben achten muss und berechnen muss, um auf die Ergebnisse zu kommen? Ich glaube wenn ich verstanden habe, was der Sinn eines Intervalls ist, kann ich zu dem auch die passenden Rechnungen anstellen :)

Ich weiß sind viele Fragen, aber ich will wirklich gern meine nächste Matheklausur rocken, vielen vielen Dank für ihre Hilfe!

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Wenn du wissen willst, für welche Winkel $\sin\alpha=s$ gilt, kannst du zwei Winkel mit der Arcus-Sinus-Funktion bestimmen:$$\alpha_1=\arcsin(s)\quad;\quad\alpha_2=180^\circ-\arcsin(s)$$Weitere Winkel, für die $\sin\alpha=s$ gilt, findest du dann, wenn du zu diesen beiden Winkeln beliebig oft $360^\circ$ addierst oder subtrahierst.

Wenn du wissen willst, für welche Winkel $\cos\alpha=c$ gilt, kannst du zwei Winkel mit der Arcus-Cosinus-Funktion bestimmen:$$\alpha_1=\arccos(c)\quad;\quad\alpha_2=-\arccos(c)$$Weitere Winkel, für die $\cos\alpha=c$ gilt, findest du dann, wenn du zu diesen beiden Winkeln beliebig oft $360^\circ$ addierst oder subtrahierst.

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Hallo nochmals,
ich hätte eine Frage, nämlich was ist wenn in der Aufgabenstellung steht:

Für welche Winkel alpha im Intervall -360°<alpha<720° gilt:

a) sin(alpha) = 0,5736    b) cos (beta) = 0,1736

Runde jeweils auf Zehntel.


Würde dann das gleiche Prinzip funktionieren wie Sie es mir erklärt haben oder müsste ich einen anderen Weg einschlagen um die Ergebnisse herauszubekommen? Schließlich heißt es ja jetzt (-360°<alpha<720°) und nicht (-720° bis +720°). Das macht doch jetzt oder einen Unterschied, oder nicht?
Vielen Dank :)