Automorphismus der reelen Gerade

Question

Aufgabe:

Sei f: (R,d)--> (R,d) ein Automorphismus der reelen Gerade (R,d) mit d(x,y)= /x-y/ für alle x,y Element R

Beschreiben Sie zunächst verbal und was für Abbildung es sich bei f handeln kann. Zeigen Sie dann formal dass entweder

a) f(x)= f(o)+x oder b) f(X)= f(0)-x gilt

Problem/Ansatz

Ich habe wirklich keine Ahnung wie

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Hallo

da die Abstände erhalten werden müssen kann es sich nur um eine Verschiebung oder Spiegelung handeln.

Also definiere Automorphismus und du bist fast fertig

Gruß lul

Answer 1

$f:\;(R,d)\rightarrow (R,d)$ ist ein Automorphismus des metrischen Raumes

$(R,d)$, wenn $|f(x)-f(y)|=|x-y|$ für alle $x,y\in R$ gilt.

Mit $y=0$ bekommen wir: $|f(x)-f(0)|=|x-0|=|x|$, also

$f(x)-f(0)=x$ oder $f(x)-f(0)=-x$, d.h.

$f(x)=f(0)+x$ oder $f(x)=f(0)-x$. Wir müssen nun zeigen,

dass entweder

$\forall x\in R:\; f(x)=f(0)+x$ oder $\forall x\in R: \; f(x)=f(0)-x$ gilt

und nicht etwa für gewisse $x$ die erste, für gewisse andere $x$ die zweite

Formel gilt. Zu diesem Zweck nehmen wir einmal an, es gäbe

$x\in R\backslash \{0\}$,  das der ersten Formel gehorcht und

$y\in R\backslash \{0\}$, das der zweiten Formel gehorcht:

$f(x)=f(0)+x$, $f(y)=f(0)-y$. Dann hätten wir

$|x-y|=|f(x)-f(y)|=|x+y|$, was nur möglich ist,

wenn $x=0$ oder $y=0$ ist, Widerspruch !

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Vielen Dank jetzt macht es Sinn !