Der Abschluss der offenen Kugel ist eine Teilmenge der abgeschlossenen Kugel

Question

Aufgabe:

der Abschluss der offenen Kugel B(x,r) ist eine Teilmenge der abgeschlossenen Kugel

und dann soll ich noch ein Beispiel finden, wo der Abschluss der offenen Kugel nicht gleich der abgeschlossenen Kugel ist.

Problem/Ansatz:

Ich habe keinen blassen Schimmer, wie ich diesen Beweisen beginnen soll. Ein kleiner Ansatz oder Tipp wäre echt hilfreich

Answer 1

Sei \(K(x,r)=\{z\in X:\; d(z,x)\leq r\}\) die abgeschlossene Kugel mit Radius r

um x. Ist nun \(y\in \overline{B(x,r)}\), dann ist \(y\) ein Berührpunkt der

offenen Kugel. Es ist daher für jedes \(\epsilon > 0\)

\(B(y,\epsilon)\cap B(x,r)\neq \emptyset\), d.h. es gibt ein \(z\) mit

\(d(z,y)\lt \epsilon\) und \(d(z,x)\lt r\), folglich ist

\(d(y,x)\leq d(z,x)+d(z,y)\lt r+\epsilon\).

Da dies für jedes \(\epsilon > 0\) gilt, folgt \(d(y,x)\leq r\),

also \(y\in K(x,r)\) und damit \(\overline{B(x,r)}\subseteq K(x,r)\).

Answer 2

Hallo,

ich verwende mal folgende Charakterisierung von Punkten \(y \in \overline{B(x,r)}\): Es existiert eine Folge \((x_n)\) in \( \overline{B(x,r)}\) mit \(d(x_n,y) \to 0\). Damit gilt:

$$d(x,y) \leq d(x,x_n)+d(x_n,y)<r+d(x_n,y) \to r \Rightarrow d(x,y) \leq r$$

Als Gegenbeispiel verwenden wir die diskrete Metrik. Also irgendeine Menge X (mit mehr als einem Element) und die Metrik:

$$d(x,x):=0 \text{  und } d(x,y):=1 \text{ sonst}$$

Dann ist \(B(x,1)=\{x\}\) und \(\{y \mid d(x,y)\leq 1\}=X\)

Gruß Mathhilf