Beweis, dass x die einzige Lösung der Gleichung ist

Question

Aufgabe:

Ich habe die Aufgabe gekriegt, alle möglichen Lösungen zu einer Gleichung zu finden.
Die Gleichung ist 7x + 13y = 100.

Problem/Ansatz:

Ich habe nachgedacht und gedacht, das man x und y zu 20 paaren kombinieren kann (x = 5, y =5) 
Das hat eine Lösung gegeben.
Dann wollte ich nicht mehr manuell irgendwas machen und habe in Python (programmiersprache) einen Algorythmus geschrieben um alle lösungen zu finden

`
for x in range(1,15):
  for y in range(1,9):
      if y*13 + x*7 == 100:
          print("Eine Lösung wurde gefunden!\n"
                f"x= {x}\n"
                f"y= {y}\n"
                f"7*{x}+13*{y}=100")

`

Das hat als einzige Lösung auch nur x=5 und y=5 gefunden.
Gibt es eine Möglichkeit mathematisch zu beweisen das x=5 y=5 die einzige Lösung ist?
Vielen Dank und Liebe Grüße

Answer 1

einen Algorythmus geschrieben

Toll, dass Du die Python-Syntax kannst.

Es gibt unendlich viele Lösungen, unten blau eingezeichnet.

Du hast nur nach einigen ganzzahligen Lösungen gesucht.

Answer 2

Allgemein sind

x = 5 + 13n
y = 5 - 7n mit n ∈ Z

ganzzahlige Lösungen für die gegebene Gleichung.

Allerdings ist x und y nur positiv, wenn n = 0 gilt. Und damit wäre das die einzige Lösung mit natürlichen Zahlen.