Zeige a(n) ist Hauptkoeffizient der Tschebyscheff-Polynom

Question

Aufgabe:

Sei T_n+1  (x) = cos((n+1)*cos^(-1)(x))

das n+1-te Polynom von Tschebyscheff

wobei n aus N₀ und x aus [-1,1] und a(n) als Hauptkoeffizient

Zeige a(n)= 2ⁿ

Problem/Ansatz:

Wie kann man das zeigen? Mit der Induktion oder mit der Rekursivformel

T(n)=2x*T(n-1)+T(n-2)? Und wie?

Comments

wenn als 'Hauptkoeffizient' der Koeffizeint gemeint ist, der vor dem $x$ mit dem höchsten Exponenten steht, dann ist doch$$a_n = 2^{n-1}$$oder nicht? (siehe Tschebyschow-Polynom) Wenn es so wäre, so wäre es doch offensichtlich wg. $T_n=2x\cdot T_{n-1}+T_{n-2}$

Oder ist die Frage ganz anders gemeint?

---

Wir müssen zeigen, dass beim (n+1).ten Tschebyscheff-Polynom der Hauptkoeffizient von x höchstem Exponenten 2ⁿ beträgt. Ich verstehe die Offensichtlichkeit der rekursiven Darstellung trotz vieler Recherche jedoch nicht, kannst du mir das bitte ein bisschen näher erklären bzw. kann ich die Eigenschaften der Nullstellen der Tsch.-Polynom benutzen?

Answer 1

Hallo,

Ich verstehe die Offensichtlichkeit der rekursiven Darstellung trotz vieler Recherche jedoch nicht

ich versuche das mal halbwegs formal zu zeigen, dass$$a_{n+1} = 2^n \quad n \in \mathbb N_0$$ist. Wobei $a_n$ der Koeffizient vor dem Glied aus dem Tschebyscheff-Poynom $T_n$ mit $x^n$ ist.

Laut Definition ist$$\begin{aligned}T_{n+1}&=2xT_n-T_{n-1}\\T_0 &= 1\\ T_1 &= x \quad &&\implies a_1=1=2^0\\T_2 &= 2xT_1 - T_0 = 2x^2 - 1 &&\implies a_2 = 2 = 2^1\end{aligned}$$D.h. die Annahme ist erfüllt für $n=0$ und $n=1$.

Da mit jedem Rekursionsschritt das Vorgängerpolynom mit $x$ multipliziert wird, d.h. der Grad des Polynoms um 1 erhöht wird, gilt auch$$\operatorname{grad}(T_n) = n$$Daraus folgt auch, dass$$\operatorname{grad}(T_{n+1}) \gt \operatorname{grad}(T_{n})$$ist und der Hauptkoeffizient des Nachfolger $T_{n+1}$ ausschließlich vom Hauptkoeffizenten des Vorgängers $T_n$ abhängt. D.h.:$$\implies a_{n+1} = 2a_{n} \quad \text{wg.}\space T_{n+1} = 2xT_{n} - T_{n-1}$$und wenn man nun den Schritt von $n$ nach $n+1$ macht:$$\begin{aligned}a_{n+1} &= 2a_{n} &&|\,\text{lt. Vorausetzung}\space a_{n}=2^{n-1}\\ &= 2 \cdot 2^{n-1} \\&= 2^n\\&\text{q.e.d.}\end{aligned}$$Gruß Werner

Comments

Danke schön. VG aki57