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Aufgabe:


Berechnen Sie den kubischen interpolierenden Spline \( s(x) \) zur Funktion
$$ f(x)=\sin ^{2}\left(\frac{\pi}{2} x\right) $$
auf \( [-1,3] \) mit St├╝tzstellen \( x_{i}=-1+i h, h=1 \) f├╝r \( i=0,1,2,3,4 \) und periodischen Randbedingungen. Bestimmen Sie zuerst das Gleichungssystem f├╝r die Steigungen \( b_{i} \). Was folgt sofort f├╝r die \( b_{i} \) ? Bestimmen Sie dann die Koeffizienten der Teilpolynome \( s_{i} \) auf \( \left[x_{i}, x_{i+1}\right] \).


Hallo zusammen, K├Ânnte mir bitte dabei helfen?

Ich habe so gemacht aber ich wei├č nicht ob das richtig ist und ich komme auch nicht weiter


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Danke im Voraus! :)

von

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Beste Antwort

was wei├čt du ├╝ber kubische splines?

guckst du https://www.geogebra.org/m/s5g89mqy

├╝ber 5 st├╝tzstellen w├Ąren 4 kubische parabel abschnitte zu bestimmen, aweng viel schreibarbeit, siehe link

welchen input brauchst du

ggf daten in app ├╝bernehmen...

blob.png

Periodische Randbedingungen

\(p_1^{'}(x_0) = p_n^{'}(x_n) \) ===> A1:={ddp(1,XY(0,1))=ddp(n,XY(n,1))}

\(p_1^{''}(x_0) = p_n^{''}(x_n)  \) ===> A6:={dp(1,XY(0,1))=dp(n,XY(n,1))}

\(\small s(x)=\left\{\begin{array}{ll}2 x^{3}+3 x^{2} & : x<0 \\ -2 x^{3}+3 x^{2} & : 0 \leq x \leq 1 \\ 2 x^{3}-9 x^{2}+12 x-4 & : 1<x \leq 2 \\ -2 x^{3}+15 x^{2}-36 x+28 & : \text { otherwise }\end{array}\right. \)

von 13 k

Was muss ich jetzt machen? ich habe nicht verstanden

Du musst nachlesen wie man kubische Splines baut.

Erkl├Ąrung z.B. im Link

Kurzform: ein lineares Gleichungssystem 16x16 aufbauen und l├Âsen...

m├Âgliches Ergebnis siehe oben...



Ich wei├č es nicht wie ich die Webseite benutze und was und wie alles eingeben soll

K├Ânntest du mir bitte dabei helfen?

In dem verlinken Beispiel werden zu 4 St├╝tzpunkten 3 Splines berechnet und das Verfahren ausf├╝hrlich beschrieben:

- ziehe die St├╝tzpunkte auf z.B. Ao=(0,0) A1=(1,1) A2=(2,0) A3=(3,1) - das w├╝rde Deinen Daten f├╝r i=1,2,3,4 entsprechen...

- dann baut die App das entsprechende LGS Zeile 5,6,7 (Matrix dazu Zeile 14)

- aus der L├Âsung dieses LGS entstehen 3 Splines Zeile 10,11,12

wenn Du die Grundlagen der Gleichungen und das Verfahren verstanden hast, kannst Du weiter unten auf der Seite

Link: Kubische Splines im CAS (Aufbau des LGS/der Matrix)

Dein eigentliches Problem angehen und noch einen St├╝tzpunkt dazu nehmen

wie kommst du darauf Ao=(0,0) A1=(1,1) A2=(2,0) A3=(3,1) ?

Au├čerdem i ist gleich 0,1,2,3,4

nicht 1,2,3,4

Spielt das keine Rolle?


Die St├╝tzpunkte sind -1,0,1,2,3 oder?

Au├čerdem ich wei├č nicht wo genau ich die St├╝tzpunkte im Link schreiben soll...

Um zu verstehen was bei einer Spline-Berechnung abgeht ist es unerheblich wie viele St├╝tzpunkte man verwendet - weniger ist mehr!

Welche St├╝tzpunkte zu verwenden sind steht in Deiner Aufgabe :

auf \( [-1,3] \) mit St├╝tzstellen \( x_{i}=-1+i h, h=1 \) f├╝r \( i=0,1,2,3,4 \)

Wo schreibe ich im Link die St├╝tzpunkte?

Was hast Du an

-ziehe die St├╝tzpunkte auf z.B. Ao=(0,0) A1=(1,1) A2=(2,0) A3=(3,1) - das w├╝rde Deinen Daten f├╝r i=1,2,3,4 entsprechen...

nicht verstanden?

wie mache ich das? ich verstehe nicht

so wird das nix....

ich hab den urspr├╝nglichen artikel nochmal ├╝berarbeitet und die periodischen randbedingungen eingearbeitet. da siehst du wo du hin willst.

dazu musst du die 4 kubischen parabel funktionen pi aufstellen und ableiten piÔÇś. die st├╝tzpunkte einsetzen!

oben kannst du erkennen welchen wert die ableitung an den st├╝tzstellen hat. l├Âse diese lgs und pr├╝fe, wie weit uns das ergebnis bringt...

Ich muss alles im Link machen oder?

das machst du am besten so, dass was dabei rum kommt. bisher war deine arbeit mit den verlinkten  apps nicht besonders erfolgversprechend?

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Ich komme jetzt nicht weiter

sehr gut...

bilde die ableitungen von s1,s2,s3,s4

wir wissen entsprechend dem bild oben, dass die ableitung an den st├╝tzpunkten ein lokales min bzw. max bildet, also alle si┬┤=0 sind. aus diesem lgs solltest du zumindest einige teill├Âsungen erhalten...

im bild oben siehe 1.zeile und die 3 zeilen, die am linken rand beginnen. repr├Ąsentieren die gleichsetzungen der ableitungen, die du aufgeschrieben hast entsprechend dem standard spline verfahren...

schon erledigt danke :)

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