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Aufgabe:

Die ersten vier Tschebyscheff-Polynome sind T0(x)=1, T1(x)=x, T2(x)=2x2-1 und T3(x)=4x3-3x

Berechnen Sie die Tschebyscheff-Koeffizienten

ck=2/pi ( \int\limits0pi \) f (cos(φ))cos(kφ)dφ, k=0,1,2,3

für f(x)=x^3+x^2 und zeigen Sie dass $f(x)=c0/2+k=13ckTk(x) \sum\limits_{k=1}^{3}{ckTk(x)} $∏ gilt.


Problem/Ansatz:

Wir sollten diese Aufgabe machen, leider habe ich keine Ahnung wie man diese Aufgabe berechnet. Kann mir da bitte jemand helfen?0 \int\limits_{0}^{\infty}

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Integrieren solltest du doch können? Wenn ich die Formel richtig entziffern kann ist

ck=2π0πf(cosφ)cos(kφ) dφ c_k = \frac 2 \pi \int_0^\pi f(\cos \varphi) \cdot \cos (k\varphi) ~\textrm d \varphi

also z.B.

c0=2π0πf(cosφ)1 dφ=2π0π(cosφ)3+(cosφ)2 dφ==1 c_0 = \frac 2 \pi \int_0^\pi f(\cos \varphi) \cdot 1 ~\textrm d \varphi = \frac 2 \pi \int_0^\pi (\cos \varphi)^3 + (\cos \varphi)^2 ~\textrm d \varphi = \dotsm = 1

Und danach rechnest du einfach die Summe aus und schaust ob da f f rauskommt.

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