Woher weiß man wieviele Stellen die Dezimalzahl 1500 im Dreiersystem, Dual, 12er System hat?

Question

Aufgabe:

Woher weiß man wieviele Stellen die Dezimalzahl 1500 im Dreiersystem, Dual, 12er System hat? ohne es auszurechnen?

oder kann man das nur durch ausrechnen herausfinden?

Answer 1

Hallo,

oder kann man das nur durch ausrechnen herausfinden?

Man kann die Anzahl der Ziffern direkt berechnen, ohne die Zahl in das andere System umzuformen.

Berechne den Logarithmus zur jeweiligen Basis, nehme die Ganzzahl davon und addiere \(1\). Z.B. 1500 im Dualsystem (Basis \(=2\)). Dann ist die Anzahl \(n\) der Stellen$$n = \lfloor\log_2(1500) \rfloor + 1 = \left\lfloor \frac{\ln(1500)}{\ln(2)} \right\rfloor + 1 = 11 \\ 1500 = 10111011100_2$$oder im 12-er System (Basis \(=12\))$$n= \lfloor\log_{12}(1500)\rfloor +1= \left\lfloor\frac{\ln(1500)}{\ln(12)}\right\rfloor + 1 = 3 \\ 1500 = A50_{12}$$

Gruß Werner

Answer 2

Jede Zahl im Dreiersystem hat die Form \(a_0 + a_1\cdot 3 + a_2 \cdot 3^2 + a_3\cdot 3^3+ a_4\cdot 3^4 + \cdots\).

Die vielen a's sind die Ziffern und können nur die Werte 0, 1 oder 2 annehmen.

Spätestens dann, wenn die verwendeten Dreierpotenzen größer als 1500 werden, können die Faktoren vor diesen Dreierpotenzen nur noch 0 sein.

Probieren wir mal durch:

3^4 ist 81.

3^5 ist 243.

3^6 ist 729.

3^7 ist 2187  und damit schon größer als 1500. Vielfache von 3^7 durfen also nicht vorkommen. Damit kommen als Summanden nur Vielfache von 3^0 bis 3^6 in Frage, das ergibt 7 Ziffern.