3x3 Matrix A, Av skalar Av = v skalar v dann gilt Av skalar Aw = v skalar w

Question

Aufgabe:

Sei A eine 3 × 3-Matrix. Angenommen, für alle Vektoren v gilt (Av)·(Av) = v·v. Zeigen Sie, dass für alle Vektoren v, w gilt, dass (Av)·Aw) = v·w.

Problem/Ansatz:

Leider fehlt mir hier komplett der Ansatz und ich wäre über jede Hilfe froh

Answer 1

Stelle beide Vektoren v und w mit der Stadartbasis dar und berechne damit Av*(Aw)

Answer 2

Nach Voraussetzung ist \(A(v+w)\cdot A(v+w)=(v+w)\cdot (v+w)\quad(*)\).

Die linke Seite ist nach den Regeln für Skalarprodukte

\(=(Av)\cdot (Av)+2(Av)\cdot (Aw)+(Aw)\cdot (Aw)=\)

\(=v\cdot v+2(Av)\cdot (Aw)+w\cdot w\).

Die rechte Seite liefert

\(=v\cdot v+2v\cdot w+w\cdot w\).

Aus \((*)\) folgt dann \(2(Av)\cdot (Aw)=2v\cdot w\) und das liefert die Behauptung.