Verständnisfrage: Spatprodukt und Skalar

Question

Aufgabe:

Ich weiss ja, dass ein Spatprodukt sozusagen das Volumen eines Parallelepipeds berechnet.

V = G * h ->  die Grundfläche ist ja (bxc) und die Höhe bekomme ich durch : |a| |cos(y)| -> V = |a| |cos(y)| (bxc) -> Jetzt steht in meinem Formelbuch folgendes: a ° (bxc) (Vektor a Skalar mit Vektorprodukt (bxc) = V.

Problem/Ansatz:

Ich verstehe die Aufstellung der Formel, jedoch macht es nicht ganz Klick, wieso |a| |cos(y)| (bxc) = | a ° (bxc)| ergibt.  Der Skalar gibt mir ja den Winkel cos(y) zwischen a und dem Vektor von (bxc)... wieso gibt mir das laut der Formelsammlung auch das Volumen?

Comments

Ich sehe gerade, dies ist der Betrag. Kann es deshalb sein?

Answer 1

Aloha :)

Das Vektorprodukt $\vec n:=\vec b\times\vec c$ steht senkrecht auf den beiden Vektoren $\vec b$ und $\vec c$ und der Betrag des Vektorproduktes ist gleich der Fläche des von $\vec b$ und $\vec c$ aufgespannten Rechtecks. Daher ist $$G:=|\vec b\times\vec c|$$die Grundfläche des Parallelepipeds. Zur Berechnung des Volumens brauchen wir noch die Höhe $h$ des Parallelepipeds. Das ist der Anteil des Vektors $\vec a$, der senkrecht auf der Grundfläche steht. Da das Vektorprodukt $\vec n$ von oben senkrecht auf der Grundfläche steht, erhalten wir die Höhe aus der Projektion des Vektors $\vec a$ auf $\vec n$.$$h=\vec a\cdot\frac{\vec n}{|\vec n|}=\vec a\cdot\frac{(\vec b\times\vec c)}{|\vec b\times\vec c|}$$Das Volumen des Parallelepipeds ist daher:$$V=G\cdot h=\vec a\cdot(\vec b\times\vec c)$$Beachte, dass $V$ sowohl negativ als auch positiv sein kann, je nach dem, ob die Vektoren $\vec a,\vec b,\vec c$ ein Rechts- oder ein Linkssystem bilden.

Answer 2

In der Formel a·(b×c)  = V ist b×c ein auf der Grundfläche senkrecht stehender Vektor v mit einem Betrag gleich der Größe der Grundfläche und a·v das Produkt aus dem Betrag von v und der Länge der Projektion von b auf v. Also Grundfläche mal Höhe.