f genau dann injektiv, wenn f surjektiv

Question

bei mir liegt folgende Aufgabe vor:

Sei A eine Menge und f:A→A eine Abbildung mit f(f(a))=f(a) für alle a∈A. Man zeige, dass f genau dann injektiv ist, wenn f surjektiv ist.

Unsere Definition:

Injektiv: Alle Funktionswerte sind verschieden, aber nicht allen Werten des Definitionsbereichs ist ein Funktionswert zugordnet

Surjektiv: Alle Elemente des Wertebereichs sind auch Funktionswerte von einem (oder mehreren) Element(en) des Definitionsbereichs. Der gesamte Wertebereich wird ausgeschöpft.Das heißt, dass einem Wert y auch mehrere Werte x zugeordnet sein können

Allerdings weis ich nicht wirklich wie ich damit umgehen soll. Wie zeigt man so etwas? Danke im Vorfeld

Answer 1

Sei f surjektiv.
Dann gibt es zu jedem a aus A ein b aus A mit f(b)=a.

Angenommen f wäre nicht injektiv, dann müsste es zwei verschiedene Elemente a1 und a2 in A geben,
die das gleiche Bild haben, also f(a1)=f(a2) .
Nun gibt es aber wegen der Surjektivität zu a1  ein b1 mit f(b1)=a1.
Und dann wäre f(a1)=f(f(b1) und das wäre wegen der gegeben Eigenschaft von f dann f(f(b1)=f(b1)=a1
Ebenso wäre f(a2) = .....     =a2.
Aus f(a1)=f(a2) folgt also immer a1=a2 im Widerspruch zu a1 und a2 seine verschieden.
Die Annahme, dass f nicht injektiv ist, führt zu einem Widerspruch, also ist f injektiv.

Umgekehrt sei nun f injektiv und man nimmt an, f sei nicht surjektiv.
Dann müsste es ein b aus A geben, das nicht als Funktionswert vorkommt.
Andererseits ist aber f(f(b)=f(b), d.h. b und f(b) haben den gleichen Funktionswert.
Wegen der Injektivität müssen dann auch b und f(b) gleich sein, Also b=f(b) und
damit kommt b doch als Funktionswert (nämlich von b) vor. Widerspruch!