regelmäßiges Sechseck: Flächeninhalt und Seitenlänge

Question

Aufgabe:

Sei r der Inkreisradius eines regelmäßigen Sechsecks. Weisen Sie nach,
dass dieses den Flächeninhalt 2r²√3 und die Seitenlängen 2r/√3
hat.
Bestimmen Sie die Ableitung des Flächeninhalts des regelmäßigen
Sechsecks nach dem Radius des Inkreises ohne Formeln zu verwenden.
Begründen Sie Ihre Antwort.

Answer 1

Hallo,

in einem regelmäßigen Sechseck bildet der Mittelpunkt $M$ mit einer der Seiten ein regelmäßigen Dreieck (z.B. $\triangle ABM$). Sei die Länge einer Seite $a$, so ist auch die Strecke vom Mittelpunkt zu einer der Ecken $=a$.

Mit $r$ als Radius des Inkreis gilt Im braunen rechtwinkligen Dreieck $\triangle AM_{ab}M$ der Pythagoras$$a^2 = r^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2 \implies a = \frac{2}{3}\sqrt{3}\,r = \frac{2}{\sqrt 3} r$$Die Fläche $F$ des Sechsecks ist 6-mal die Fläche eines der gleichseitigen Dreiecke$$F = 6\cdot \frac 12 ra = 3 r \cdot \frac{2}{3}\sqrt{3}\,r = 2\sqrt{3}\,r^2$$

Bestimmen Sie die Ableitung des Flächeninhalts des regelmäßigen
Sechsecks nach dem Radius des Inkreises ohne Formeln zu verwenden.

Na ja, wenn $$F(r) = 2\sqrt{3}\,r^2$$dann ist$$F'(r) = 4\sqrt{3}\,r$$natürlich habe ich dabei die Regeln des Ableitens angewendet (gilt das als Formel?).

Ohne jede Formel lässt sich aber sofort sagen, dass $$F'(r) \propto r$$also die Ableitung der Fläche ist proportional zum Radius $r$ bzw. genau der Umfang des Sechsecks. Also$$F'(r) = 6a = 6 \cdot \frac{2}{3}\sqrt{3}\,r = 4\sqrt{3} \,r$$Gruß Werner

Answer 2

a) zeichne den Inkreis, der Radius steht senkrecht auf den Seiten nenne die L , bestimme L  mit Pythagoras. ein Dreieck hat die Fläche L*r/2 6 dann 6 mal so viel.     das ist nicht 2r²/√3 sondern 6r²/√3 der Umfang ist 12r/√3

wenn man r und dr vergrößert steigt die Fläche um Umfang *dr also hast du dA=12r/√3*dr.

Comments

Hallo,

wenn du 12r/√3 mit √3 erweiterst, kannst du mit 3 kürzen und erhältst 4√3.

:-)

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danke, aber um den Zusammenhang mit 6L bzw dem Umfang zu sehen find ich die erste Form besser.

und natürlich soll man die Formel (r²)'=2r nicht verwenden, (die Griechen kannten die Änderung ohne Differentialrechnung)

lul

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Ich habe mit meinem Kommentar nur den Zusammenhang zwischen deiner und Werners Lösung erläutern wollen.

:-)