Funktion aufstellen Abitur 2022

Question

Bw Abi berufliches Gymnasium 2022:

1. Aufgabe analysis mit hilfsmittel:

H(0/4), T1(-2/2), T2(2/2)
1. Stellen eine Funktion auf die folgende Eigenschaften erfüllt:
- Symmetrisch zur y-Achse ist
- y-Achse in H schneidet
- Einen Extrempunkt T1 besitzt

Comments

Ohne Rechnung hinschreibbar : f(x) = cos(π/2*x)+3

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Sollte das wirklich eine Abituraufgabe gewesen sein wäre die unheimlich schlecht gestellt oder der Fragesteller hier hat sie einfach nur unheimlich schlecht wiedergegeben.

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Sollte das wirklich eine Abituraufgabe gewesen sein wäre die unheimlich schlecht gestellt ...

das sehe ich auch so! Und $$f(x)= \cos\left(\frac\pi2 x\right) + 3$$ ist ein adäquate und vor allem korrekte Antwort auf diese Frage.

Und was soll man bei dieser Aufgabe mit einem 'Hilfsmittel' machen?

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Ist das wirklich die Original-Aufgabenstellung?

dann gäbe es tatsächlich unendlich viele Lösungen. Insbesondere deshalb, weil der Typ der Funktion nicht erwähnt bzw. vorgegeben wird!
So kann man sich z.B. einige "Grund-"Funktionen basteln wie$$f\left(x\right)=\frac{1}{8}x^{4}-x^{2}+4 \\ g\left(x\right)=\cos\left(\frac{\pi}{2}x\right)+3 \\ h\left(x\right)=-\frac{1}{2}x^{2}e^{\left(2-\left|x\right|\right)}+4$$von denen jede einzelne eine Lösung der Aufgabe ist. Und man kann sie auch noch kombinieren:

Bewege den Punkt in dem gelben Dreieck mit der Maus. In Abhängigkeit seiner Position werden die Grundfunkionen anders gewichtet. Das Ergebnis ist der rote Graph. Und jede Kombination ist eine Lösung der Aufgabe.
Es gibt sicher noch andere Möglichkeiten, aber allein so erhält man unendlich viele Varianten einer Funktion, die die Vorgaben in der Aufgabe erfüllt.

Answer 1

Vermutlich ist eine ganzrationale Funktion gesucht

und "Einen Extrempunkt T1 besitzt" zusammen mit der

Symmetrie impliziert auch einen 2. Tiefpunkt.

Wenn es 2 gibt, liegt dazwischen ein Hochpunkt

und damit muss die Ableitung 3 Nullstellen haben, bei

±2 und bei 0 , also etwa so aussehen

f ' (x) = a * x * (x-2) * (x+2) = a*( x^3 - 4x)

==>  f(x) = a* ( x^4/4 - 2x^2) + b

Und a und b kann man bestimmen mit den y-Werten von H und T

also b=4 und a*(16/4 - 2*4) + 4 = 2 ==>  a=1/2

Also f(x) = (1/2)* ( x^4/4 - 2x^2) + 4 = x^4/8 -x^2 + 4

etwa so ~plot~ x^4/8 -x^2 + 4 ~plot~

Answer 2

H(0|4), T1(-2|2), T2(2|2)
1. Stellen eine Funktion auf die folgende Eigenschaften erfüllt:
- Symmetrisch zur y-Achse ist
- y-Achse in H schneidet
- Einen Extrempunkt T1 besitzt

Ich verschiebe um 2 Einheiten nach unten:

\(H´(0|2), T1(-2|0), T2(2|0)\)

\(f(x)=a*(x+2)^2*(x-2)^2\)

\(f(0)=a*(0+2)^2*(0-2)^2=16a\)

\(16a=2\)   \(a=\frac{1}{8}\)

\(f(x)=\frac{1}{8}*(x+2)^2*(x-2)^2\)

Nun 2 nach oben:

\(p(x)=\frac{1}{8}*(x+2)^2*(x-2)^2+2\)