Beweisaufgabe zu einer Gamma-Funktion

Question

Schönen guten Tag, habe kürzlich dieses Forum gefunden und wollte es nun mal selber probieren habe Probleme bei dieser Aufgabe. Würde mich über eine Antwort freuen. LG

Text erkannt:

Die Gamma-Funktion \( \Gamma:(0, \infty) \rightarrow \mathbb{R} \) ist definiert durch
\( \Gamma(x):=\int \limits_{0}^{\infty} t^{x-1} e^{-t} \mathrm{~d} t \quad(x>0) . \)
(i) Zeigen Sie, dass \( \Gamma \) wohldefiniert ist, d.h., dass das uneigentliche Integral \( \int \limits_{0}^{\infty} t^{x-1} e^{-t} \mathrm{~d} t \) für \( x>0 \) tatsächlich existiert.
(ii) Zeigen Sie \( x \Gamma(x)=\Gamma(x+1) \) für \( x>0 \).
Hinweis: Partielle Integration.
(iii) Berechnen Sie \( \Gamma(n) \) für \( n \in \mathbb{N} \).

Answer 1

(ii) Verwende den Hinweis :

\(\Gamma(x+1):=\int \limits_{0}^{\infty} t^{x} e^{-t} \mathrm{~d} t   \)

Also erst mal ohne Grenzen partielle Int nach dem Muster

\(    \int u*v' = u*v -   \int u'*v \)   gibt hier

\(    \int t^{x}e^{-t} \mathrm{~d} t = -t^x \cdot e^{-t} -   x \int t^{x-1}(-e^{-t}) \mathrm{~d} t \)

\( = -t^x \cdot e^{-t}  + x \int t^{x-1}e^{-t} \mathrm{~d} t \)

Wenn du die Grenzen berücksichtigst, hast du im 2. Summanden

schon x*Γ(x) und der erste Summand in den Grenzen von 0 bis z gibt

-z^x-e^(-z) + 0^z*e^(-0) = -z^x * e^(-z) und für z gegen ∞ ist das 0.

(iii) Beginne mit x=1 , dann hast du Γ(1) = 1.

Und mit (ii) also Γ(2) = 2*  Γ(1) = 2

Γ(3) = 3*  Γ(2) = 3*2 = 3!   etc.   Γ(n) = n!