lineare Abhängigkeit! Für welches Lambda sind die Vektoren a,b,c lin. abhängig?

Question

Für welche \( \lambda \epsilon \Re \) sind die Vektoren a,b,c linear abhängig?

\( \bar{a}=\left[\begin{array}{c}{2 \cdot(1-\lambda)} \\ {0} \\ {1-\lambda}\end{array}\right], \quad \bar{b}=\left[\begin{array}{c}{4} \\ {2-\lambda} \\ {4}\end{array}\right], \quad \bar{c}=\left[\begin{array}{c}{2-\lambda} \\ {4} \\ {2-\lambda}\end{array}\right] \)

Normal würde ich das hier mit einem Gauss-Algorithmus lösen, aber ich verstehe leider nicht wie ich den auflösen sollte. Oder ist der Lösungsweg falsch?

Comments

Das allereinfachste wär über die Determinante. Ansonsten ist Gauß-Algorithmus das mittel der Wahl, mit Fallunterscheidung für $$\lambda =0;1$$

Answer 1

Die Vektoren a, b, c sind genau dann linear abhängig, wenn die Determinante det(a,b,c) den Wert Null annimmt, also:

$$det(a,b,c)=0$$$$\Leftrightarrow \begin{vmatrix} 2(1-\lambda ) & 4 & 2-\lambda  \\ 0 & 2-\lambda  & 4 \\ 1-\lambda  & 4 & 2-\lambda  \end{vmatrix}=0$$Regel von Sarrus$$\Leftrightarrow 2(1-\lambda )(2-\lambda )^{ 2 }+16(1-\lambda )+0-(2-\lambda )^{ 2 }(1-\lambda )-16*2(1-\lambda )-0=0$$Vereinfachen$$\Leftrightarrow (1-\lambda )(2-\lambda )^{ 2 }-16(1-\lambda )=0$$Ausklammern$$\Leftrightarrow (1-\lambda )((2-\lambda )^{ 2 }-16)=0$$Satz vom Nullprodukt$$\Leftrightarrow 1-\lambda =0\vee (2-\lambda )^{ 2 }-16=0$$$$\Leftrightarrow \lambda =1\vee (2-\lambda )^{ 2 }=16$$$$\Leftrightarrow \lambda =1\vee 2-\lambda =\pm 4$$$$\Leftrightarrow \lambda =1\vee 2-\lambda =\pm 4$$$$\Leftrightarrow \lambda =1\vee \lambda =-2\vee \lambda =6$$

Schaut man sich an, was mit den Vektoren a, b, c in diesen Fällen geschieht, so stellt man fest:

Für \(\lambda =1\) wird der Vektor a zum Nullvektor.
Für \(\lambda =-2\) gilt b = c  und
Für \(\lambda =6\) gilt b = - c