Minimum und Maximum bestimmen (mit Kreuzprodukt zweier Intervalle)

Question

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Aufgabe:

Entscheiden Sie, ob die folgende Funktion ihr Minimum und Maximum annimmt.

\( g:[0,1[\times[0, \pi / 2[\rightarrow \mathbb{R}, \quad g(x, y)=5 x+\sin y \)

Bestimmen Sie das Minimum und Maximum, falls diese angenommen werden.

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Moin! Ich habe leider etwas Schwierigkeiten, diese Aufgabe zu verstehen. Bereits angefangen, mit dem Definitionsbereich von g.. Wie berechnet man hier das Kreuzprodukt? Die Mengen sind doch teils offen?

Kann mir jemand helfen, wie ich bei der Aufgabe am besten vorgehe?

Besten Dank und liebe Grüße!

Answer 1

Definitionsbereich ist ein Rechteck von dem zwei Kanten fehlen.

Bestimme Extrempunkte im Inneren so wie üblich.

Untersuche dann die zwei verbliebenen Kanten auf Extrempunkte.

Untersuche dann die zwei fehlend Kanten auf Extrempunkte.

Bestimme dann den höchsten Hochpunkt. Falls er im Inneren oder auf einer der Kanten des Definitionsberecihes liegt, dann nimmt die Funktion ihr Maximum an.

Comments

Wie zeichne ich dieses Rechteck ein? Ich steh irgendwie auf dem Schlauch..

Ist das so richtig?

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Das ist richtig.

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Ich habe nun die Funktion partiell nach x und nach y abgeleitet und dabei rausbekommen:
g_x = 5
g_y = cos y

und das ergibt den Gradient grad(g)=(5,cos y)

Nun würde ich normalerweise die beiden Ableitungen gleich 0 setzen und das Gleichungssystem lösen. Aber hier würde bei der Ableitung nach x doch 5 = 0 stehen?

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Aber hier würde bei der Ableitung nach x doch 5 = 0 stehen?

Ja. Schlussfolgerung daraus ist, dass es im Inneren keine Extrempunkte gibt.

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Also habe ich nun festgestellt, dass im Inneren des Definitionsbereichs keine Extremstellen exisitieren. Wie untersuche ich nun die Kanten auf Extremstellen?

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Untersuche die Funktionen der vier Kanten, also

       f_u(x) = g(x,0) für 0 < x < 1

       f_r(y) = g(1,y) für 0 < y < π/2

       f_o(x) = g(x,π/2) für 0 < x < 1

       f_l(y) = g(0,y) für 0 < y < π/2

Bestimme dann die Funktionswerte an den Ecken.

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Die Funktionen der Kanten leuchten mir nun ein.

Ich verstehe aber nicht ganz, wie ich diese Funktionen nun untersuche.. bzw. auf was ich diese untersuche?

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Untersuche sie auf Extrempunkte.

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Ich verstehe leider nicht wie.. ich finde auch im Internet nichts dazu :(

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        \(\begin{aligned} f_{u}(x) & =g(x,0)=5x+\sin0=5x\\ f_{u}'(x) & =5\\ 0 & =5\text{ hat keine Lösung} \end{aligned}\)

Extrempunkte am unteren Rand können deshalb nur an den Ecken \((0,0)\) und \((1,0)\) auftreten.

Einsetzen in \(g\) liefert

        \(\begin{aligned} g(0,0) & =5\cdot0+\sin0=0\\ g(1,0) & =5\cdot1+\sin0=5 \end{aligned}\)

An der Stelle \((0,0)\) kann das Minimum liegen.

Einen Kandidaten für das Maximum liefert der untere Rand nicht, weil \((0,1)\) nicht zum Definitionsbereich gehört. Das Maximum muss aber mindestens \(5\) betragen.

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Danke!

Für die linke Kante dann:

f_l(x) = g(0,y) = 5*0 + sin(y) = sin(y) ,für 0<=y<pi/2

y = k*pi ,mit k Element der natürlichen Zahlen

k = 0: y=0*pi = 0

k = 1: y=1*pi=pi (außerhalb des Def.bereichs)

g(0,0) potentielles Minimum

Obere

das selbe wie bei der unteren, mit 5=0 keine Lösung.

Also g(0,pi/2)=1

& g(1,pi/2)=6

aber es gilt ja x<0<1, also dürfte das doch auch nicht gehen, oder?