Aufgabe:
Integraltransformation mit Laplace:
\( \left.y^{\prime \prime}(x)+4 y(x)=u_{\pi}(x)-u_{3 \pi}(x)\right) \)
\( y(0)=0 \)
\( y^{\prime}(0)=0 \)
\( \mathcal{L}\left\{y^{\prime \prime}(x)\right\}+4 \mathcal{L}\{y(x)\}=\mathcal{L}\left\{u_{\pi}(x)\right\}-\mathcal{L}\left\{u_{3\pi} (x)\right\} \)
\( s^{2} y(s)+4 s y(s)=\frac{e^{-\pi s}}{s}-\frac{e^{-3 \pi s}}{s} \)
\( Y(s)=\left(s^{2}+4\right)=\frac{e^{-\pi s}}{s}-\frac{e^{-3 \pi s}}{s} \)
\( y(s)=\left[\frac{e^{-\pi s}}{s}-\frac{e^{-3 \pi s}}{s}\right] \cdot \frac{1}{s^{2}+4} \)
\( y(x)=\left[u_{\pi}(x)-u_{3 \pi}(x)\right] \sin (2 x) \)
\( y(x)=u_{\pi}(x) \cdot \sin (2 x)-u_{3 \pi}(x) \sin (2 x) \)
Problem/Ansatz:
Abend!
Meine Frage bezieht sich auf die inverse Laplacetransformation, also wenn aus dem y(s) wieder ein y(x) wird.
Ich hab die einzelnen Terme in der Tapelle nachgeschlagen und sie ersetzt. In den meisten Aufgaben wird der Term noch als y(s) ausmultipliziert, dann kommt oft eine Partialbruchzerlegung und danach wird erst die inverse Laplacefunktion nachgeschlagen und erstetz.
Ich bin bei dem Theme leider noch sehr unsicher und frag mich jetzt ob ich es mir zu einfach mache und das Ganze eine Blödsinn ist.
Vl kann mir das jemand erklären, bzw den richtigen Lösungsweg zeigen.
Danke
