Dimension vom Kern bestimmen?

Question

Aufgabe:

Dimension vom Kern bestimmen:

\( f\left(\sum \limits_{i=0}^{n} x_{i} X^{i}\right)=x_{2}+x_{1} X \)

Also Die Basis müsste ja (1,X) sein aber da n beliebig sein kann, kann hier ja ein undendlich großes Polynom hin. Wie würde man an so eine Aufgabe rangehen?

Answer 1

Damit \(\sum \limits_{i=0}^{n} x_{i} X^{i} \) im Kern von f liegt,

muss ja \(f\left(\sum \limits_{i=0}^{n} x_{i} X^{i}\right)=0 \) gelten,

also \( x_{2}+x_{1} X = 0  \)  Damit das stimmt, muss

\( x_{2} = 0  \)    und    \( x_{1}  = 0  \) gelten.

Die anderen   \( x_{i}    \)  können alle beliebigen Werte annehmen,

Das sind n-1 Stück, also entspricht das den (n-1)-Tupeln,

und deshalb ist die Dimension n-1.

Du kannst auch über den Rang argumentieren. Wie du schon

erkannt hast, ist das Bild von f zweidimensional, also

dim Kern = Dimension des Ausgangsraums minus dim Bild

             = n+1 - 2  = n-1.

Unendlich ist hier nix. Das n ist eine endliche Zahl.

Comments

Danke für die Antwort, könntest du nochmal erklären warum die Dimension genau n-1 ist?

Ich weiß das die anderen Werte ja beliebig sind, aber was ist wenn das n z.B. n:=1 ist ? Dann habe ich ja die Dimension 0 oder nicht?

Wir haben im Polynom ja n+1 xi. Wegen x0*X^0.

Und dann haben wir bei f im ausgang nur x1*X und x2.

Müssen die beiden dann nicht auch in der Basis Dimension sein?

Entschuldigung das ich das so kompliziert mache.

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Für n=1 gibt es kein x2. Also nicht vorgesehen