Kern/Rang bestimmen und Dimension

Question

Aufgabe: Sei A ∈ Mat(n x n; ℝ) eine Matrix mit Rang r.

1) Zeigen Sie, dass Kern(A) ⊆ Kern(A²) und folgern Sie, dass rang(A²) ≤ r gilt.

2) Sei B ∈ Mat(n x 2n; ℝ) die Matrix, deren ersten n Spalten die Spalten von A sind und die letzten n Spalten die Spalten von A² sind. Zeigen Sie, dass rang(B) = r gilt.

3) Bestimmen Sie die Dimension des Kernes von B.

4) Es gelte A² = (0), d.h. die Einträge der Matrix A² seinen alle gleich 0. Zeigen Sie, dass r ≤ \( \frac{n}{2} \) gilt.

Problem/Ansatz:

Bei 1) habe ich leider absolut keine Ahnung wie ich vorgehen soll, da 2 darauf aufbaut und 3 wieder darauf aufbaut, ist dies ein Teufelskreis.

Kann mir vielleicht jemand einen Ansatz erklären, wie ich hier vorgehen muss?

Answer 1

1) Sei b ∈ Kern(A). Begründe das b ∈ Kern(A²) ist.

Answer 2

Zu 2)

Das Bild \(img(A)\) von \(v\mapsto Av\) wird von den Spalten von \(A\) erzeugt.

Da \(img(A^2)\subseteq img(A)\) gilt, sind die Spalten von \(A^2\)

Linearkombinationen der Spalten von \(A\), d.h. die letzten \(n\)

Spalten von \(B\) erhöhen den Spaltenrang von \(B\) gegenüber

dem Spaltenrang \(r\) von \(A\) nicht. Damit ist

rang\((B)=\)rang\((A)=r\).