Dimension vom Kern bestimmen?

Question

Aufgabe:

Dimension vom Kern bestimmen:

$f\left(\sum \limits_{i=0}^{n} x_{i} X^{i}\right)=x_{2}+x_{1} X$

Also Die Basis müsste ja (1,X) sein aber da n beliebig sein kann, kann hier ja ein undendlich großes Polynom hin. Wie würde man an so eine Aufgabe rangehen?

Answer 1

Damit $\sum \limits_{i=0}^{n} x_{i} X^{i}$ im Kern von f liegt,

muss ja $f\left(\sum \limits_{i=0}^{n} x_{i} X^{i}\right)=0$ gelten,

also $x_{2}+x_{1} X = 0$  Damit das stimmt, muss

$x_{2} = 0$    und    $x_{1} = 0$ gelten.

Die anderen   $x_{i}$  können alle beliebigen Werte annehmen,

Das sind n-1 Stück, also entspricht das den (n-1)-Tupeln,

und deshalb ist die Dimension n-1.

Du kannst auch über den Rang argumentieren. Wie du schon

erkannt hast, ist das Bild von f zweidimensional, also

dim Kern = Dimension des Ausgangsraums minus dim Bild

             = n+1 - 2  = n-1.

Unendlich ist hier nix. Das n ist eine endliche Zahl.

Comments

Danke für die Antwort, könntest du nochmal erklären warum die Dimension genau n-1 ist?

Ich weiß das die anderen Werte ja beliebig sind, aber was ist wenn das n z.B. n:=1 ist ? Dann habe ich ja die Dimension 0 oder nicht?

Wir haben im Polynom ja n+1 xi. Wegen x0*X⁰.

Und dann haben wir bei f im ausgang nur x1*X und x2.

Müssen die beiden dann nicht auch in der Basis Dimension sein?

Entschuldigung das ich das so kompliziert mache.

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Für n=1 gibt es kein x2. Also nicht vorgesehen