Zeigen Sie: Falls lim n→∞an/bn = 1, dann existiert n0 ∈ N mit 1/2 |an| ≤ |bn| ≤ 3/2 |an| für alle n ≥ n0.

Question

Aufgabe:

Seien (a_n) und (b_n) reelle Folgen mit b_n ≠ 0 für alle n ∈ N. Zeigen Sie:
Falls lim n→∞a_n/b_n = 1, dann existiert n₀ ∈ N mit 1/2 |a_n| ≤ |b_n| ≤ 3/2 |a_n| für alle n ≥ n₀.

Problem/Ansatz:

Meine Idee ist, es dies mit dem Epsilon Kriterium zu zeigen:

|(a_n/b_n)-1| < ε
<=> a_n < ε * b_n + b_n und b_n < a_n/(ε+1)
Nur weiß ich jetzt nicht, wie ich das in 1/2 |a_n| ≤ |b_n| ≤ 3/2 |a_n| einbinden soll.

Answer 1

Überlege dir, dass \(a_n/b_n\rightarrow 1 \Rightarrow |a_n/b_n|\rightarrow 1\) für \(n\rightarrow \infty\).

Dann mache dir passende Gedanken zu \(||a_n/b_n|-1|\lt \frac{1}{2}\), also

\(1-\frac{1}{2}\lt |a_n/b_n| \lt 1+\frac{1}{2}\) ....

Comments

Also hieße das:
1-1/2 < |a_n/b_n|<1+1/2
1/2<|a_n/b_n|<3/2
1/2<|a_n|/|b_n|<3/2
1/2>|b_n|/|a_n|>3/2
(1/2)·|a_n|>|b_n|>(3/2)·|a_n|

Hm, die letzten 2 Zeilen stören noch, da die Ungleichungszeichen eigentlich ja anders herum stehen müssten. Wie müsste man denn hier weiter umformen?

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Ja, irgendwie sind die Rollen von \(a_n\) und \(b_n\) vertauscht.

Nun ist abrr, wenn \(a_n\neq 0\) für fast alle \(n\) ist, ja auch

\(\lim \frac{b_n}{a_n}=1\) und damit geht alles gut.

Ich habe den Eindruck, dass dem Aufgabensteller hier ein

kleiner Fehler unterlaufen ist.