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Aufgabe:

Seien (an) und (bn) reelle Folgen mit bn ≠ 0 für alle n ∈ N. Zeigen Sie:
Falls lim n→∞an/bn = 1, dann existiert n0 ∈ N mit 1/2 |an| ≤ |bn| ≤ 3/2 |an| für alle n ≥ n0.


Problem/Ansatz:

Meine Idee ist, es dies mit dem Epsilon Kriterium zu zeigen:

|(an/bn)-1| < ε
<=> an < ε * bn + bn und bn < an/(ε+1)
Nur weiß ich jetzt nicht, wie ich das in 1/2 |an| ≤ |bn| ≤ 3/2 |an| einbinden soll.

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Überlege dir, dass \(a_n/b_n\rightarrow 1 \Rightarrow |a_n/b_n|\rightarrow 1\) für \(n\rightarrow \infty\).

Dann mache dir passende Gedanken zu \(||a_n/b_n|-1|\lt \frac{1}{2}\), also

\(1-\frac{1}{2}\lt |a_n/b_n| \lt 1+\frac{1}{2}\) ....

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Also hieße das:
1-1/2 < |an/bn|<1+1/2
1/2<|an/bn|<3/2
1/2<|an|/|bn|<3/2
1/2>|bn|/|an|>3/2
(1/2)·|an|>|bn|>(3/2)·|an|

Hm, die letzten 2 Zeilen stören noch, da die Ungleichungszeichen eigentlich ja anders herum stehen müssten. Wie müsste man denn hier weiter umformen?

Ja, irgendwie sind die Rollen von \(a_n\) und \(b_n\) vertauscht.

Nun ist abrr, wenn \(a_n\neq 0\) für fast alle \(n\) ist, ja auch

\(\lim \frac{b_n}{a_n}=1\) und damit geht alles gut.

Ich habe den Eindruck, dass dem Aufgabensteller hier ein

kleiner Fehler unterlaufen ist.

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